forza variabile e lavoro

[zio_mangrovia]

Noto che questo esercizio è stato affrontato in altro thread ma non ho ben chiaro come si possa arrivare alla soluzione.
L'unica cosa di cui sono certo è che la forza è variabile per cui devo utilizzare l'integrale per ricavarmi il lavoro:

$W=\int_(x_i)^(x_f) \vecF \ \vecs=\int_(x_i)^(x_f) F*s*cos\theta$

Per cui supponiamo di andare per gradi e calcolarmi intanto il lavoro nel tratto OA

Farei variare x da 0 a 5 nell'integrale tendo costante y=0

$\int_0^5 (2y+x^2)dx=(2yx+x^3/3)|_0^5$

poiché $y=0$ segue che $y^2|_0^5=125/3$

analogo per il tratto AC

Farei variare y da 0 a 5 nell'integrale tendo costante x=5

$\int_0^5 (2y+x^2)dy=(y^2+x^2y)|_0^5$

poiché $x=5$ segue che $(y^2)+25y|_0^5=25+125=150$

Se sommo $150+125/3$ non ottengo di certo i 125 J relativi al punto a)

Ma ho sbagliato approccio quindi?

[Quinzio]

Quando io vedo esercizi risolti cosi' inizio a strapparmi i capelli !!!
Purtroppo in matematica (e simili) e' NECESSARIO capire cosa sono i simboli e le scritture usate.

Quando scrivi cosi'...
$ W=\int_(x_i)^(x_f) \vecF \ \vecs=\int_(x_i)^(x_f) F*s*cos\theta $

si capisce che non ti fermi a pensare un attimo a cosa c'e' scritto li sopra.
Gli integrali non hanno piu' una variabile d'integrazione ? Sarebbe il $dx$ in $\int f(x)dx$.
Che fine ha fatto ?
E due vettori si moltiplicano come se fossero due numeri reali ?
Che fine ha fatto il prodotto vettoriale o scalare ?
Prodotto scalare che poi usi nel secondo integrale. Ma per far cosa ? Per moltiplicare due numeri reali, giusto no ?
Almeno quelli che dovrebbero essere degli scalari, perche' poi sparisce il segno di vettore, gettato via come un inutile fastidio, quindi non si sa piu' cosa sono quelle lettere.

E' chiaro che poi il risultato non viene giusto.
Per fortuna che almeno in matematica i risultati sono o giusti o sbagliati, altrimenti la gente andrebbe avanti imperterrita senza capire. Come poi succede nelle materie dove non c'e' matematica.

Ma ho sbagliato approccio quindi?

Quello forse e' l'unico ad esserci.

Riscrivi per favore quei due integrali facendo riferimento al tuo libro (slide, manuali) o a questa pagina:
https://it.wikipedia.org/wiki/Lavoro_(fisica)
e cercando di capire cosa sono i vari simboli e cosa vogliono dire.
Grazie.

[zio_mangrovia]

Oops ! Distrazioni...
Volevo scrivere, ho fatto un po' di confusione...

$ W=\int_(x_i)^(x_f) Fdx$

[Quinzio]

Non mi sembra che hai fatto grossi passi avanti, ne' che hai colto il mio invito.
Ok, se ti eri semplicemente distratto, allora prosegui pure.

[zio_mangrovia]

Ci riprovo ma stavolta controllo bene e cerco di rispondere in base alle mie conoscenze.
La seguente formula è applicabile in caso di forza costante.

$W=\vecF*\vecs=F*s*cos\theta$
dove $F$ e $s$ rappresentano i moduli rispettivamente della forza applicata e del vettore posizione, $\theta$ è l'angolo tra i due vettori.


Mentre nel caso di forza variabile, posso considerare il vettore posizione come infinitesimo e poi così avvalermi del calcolo integrale applicando la formula precedente, ottenendo:

$W=\int \vecF*d\vecs$

Riesco ad arrivare fin qua.
Però noto nel link che mi hai indicato questo passaggio che credo mi aiuti:

$dW=F_xdx+F_ydy+F_zdz$

quindi provo ad esporrmi:

$W=\int_(x_i)^(x_f)F_x*dx+\int_(y_i)^(y_f)F_y*dy+\int_(z_i)^(z_f)F_z*dz$

Ha un senso ciò che ho scritto?

[Quinzio]

Ci riprovo ma stavolta controllo bene e cerco di rispondere in base alle mie conoscenze.
La seguente formula è applicabile in caso di forza costante.

$W=\vecF*\vecs=F*s*cos\theta$
dove $F$ e $s$ rappresentano i moduli rispettivamente della forza applicata e del vettore posizione, $\theta$ è l'angolo tra i due vettori.

La matematica e' una materia "stramaledettamente" pignola. Non puoi usare i puntini come pare a te.
Quel puntino che metti significa "prodotto scalare".
E va bene messo qui $ \vecF*\vecs $

Ma non qui $ F*s*cos\theta $ !!
Quelle lettere $F, s, cos\theta$, sono scalari, non sono vettori.


Poi qui dentro: $ F*s*cos\theta $ cos'e' $F$, cos'e' $s$ ??

Questa e' la formula su Wikipedia:


vedi che hanno messo il modulo ?
Ma che importa ??? Con o senza modulo... tanto e' lo stesso, no ?
E lo vedi che non ci sono i pallini del prodotto scalare. Perche' il modulo diventa un numero scalare e quindi non puoi mettere il pallino del prodotto vettoriale.
E' chiaro ?

Mentre nel caso di forza variabile, posso considerare il vettore posizione come infinitesimo e poi così avvalermi del calcolo integrale applicando la formula precedente, ottenendo:

$W=\int \vecF*d\vecs$

Mi sembra che nella pagina Wikipedia ci sia un piccolo dettaglio:

La curva $\gamma$.

Mi scrivi nel tuo caso, nel percorso OA, un'espressione per la curva $\gamma$ ?

Riesco ad arrivare fin qua.
Però noto nel link che mi hai indicato questo passaggio che credo mi aiuti:

$dW=F_xdx+F_ydy+F_zdz$
quindi provo ad esporrmi:
$W=\int_(x_i)^(x_f)F_x*dx+\int_(y_i)^(y_f)F_y*dy+\int_(z_i)^(z_f)F_z*dz$

Lascia perdere per adesso questa roba qui. Basta e avanzano le formule sopra.

[zio_mangrovia]

Quel puntino che metti significa "prodotto scalare".
E va bene messo qui $ \vecF*\vecs $

A dir la verità non lo sapevo, per me il puntino era il prodotto e basta; l'interpretazione veniva da se... p.e. se ho due vettori il puntino è prodotto scalare. Riconosco la mia superficialità.

Ma non qui $ F*s*cos\theta $ !!
Quelle lettere $F, s, cos\theta$, sono scalari, non sono vettori.
Questa e' la formula su Wikipedia:

Poi qui dentro: $ F*s*cos\theta $ cos'e' $F$, cos'e' $s$ ??

Non voglio peccare di presunzione ma lo avevo capito, ho sbagliato il formalismo.
Ma sul puntino sono d'accordo ma il mio testo p.e. non mette il simbolo del modulo ma lo indica semplicemente omettendo la freccettina sopra la lettera.
E' tutto chiarissimo, "erroneamente" non avevo dato peso alla simbologia. Pardon! Grazie dell'appunto.

Mi sembra che nella pagina Wikipedia ci sia un piccolo dettaglio:

La curva $\gamma$.

Mi scrivi nel tuo caso, nel percorso OA, un'espressione per la curva $\gamma$ ?

Si va nei meandri di analisi 2 che non ricordo, devo ripassare e adesso.
Vedo se in questi giorni riesco a ripassare.

[Quinzio]

E' tutto chiarissimo, "erroneamente" non avevo dato peso alla simbologia. Pardon! Grazie dell'appunto.

Si probabilmente era chiaro, ma dallo svolgimento del post di apertura si vede che poi non hai chiaro come devi procedere.
Secondo me il tuo libro adotta una simbologia poco chiara, che poi induce a prendere fischi x fiaschi.

Si va nei meandri di analisi 2 che non ricordo, devo ripassare e adesso.

Male, purtroppo.
Non devi ricordare tutti i dettagli, ma almeno devi avere chiaro di cosa si sta parlando, e poi reperire i dettagli tra le slide o in rete.

Trovi una espressione per $\gamma$, che sia parametrizzata con un parametro che chiamiamo $t$, poi va differenziata, e troviamo il $d\vec s$, e poi si esegue quel benedetto prodotto scalare e poi, finalmente, si integra.

[zio_mangrovia]

sinceramente non ricordo come si procede con l'integrale curvilineo, è passato quasi un anno da quando ho dato l'esame di analisi 2...