In particolare riguardo la trattazione termodinamica seguita dal libro su cui sto studiando, per descrivere la fase di aspirazione di tale motore.
Considera cioè un sistema costituito da un cilindro delimitato da pareti fisse, una mobile rappresentata dalla testa del pistone e una luce di aspirazione per l'immissione di nuova carica fresca (mentre la valvola di scarico è chiusa).
Esso a questo punto applica il principio di conservazione dell'energia in forma lagrangiana (dato la non stazionarietà del processo), ovvero ad una porzione di fluido (a massa costante), costituita dalla massa $M_r$ dei gas residui del processo precedente rimasta intrappolata nel volume morto e dalla massa $M_a$ della carica fresca che viene complessivamente introdotta durante l'intera fase.
Dalla teoria della termodinamica sappiamo che il primo principio della termodinamica applicata ad una porzione di fluido di massa $M$, dice che la variazione di energia totale $E$ subita da tale massa in un intervallo di tempo finito $\Deltat$, è pari all'energia di transito che attraversa la superficie delimitante tale massa da tutto ciò che lo circonda (ambiente), ovvero al calore scambiato e al lavoro delle forze esterne complessivamente applicate su tale sistema:
$\DeltaE = Q - L_(ext)$ $[kJ]$ ove $E = U + E_(c) + E_(pot) + ...$
se si considera un intervallo di tempo infinitesimo:
$\dE = dQ - dL_(ext)$
Se si trascurano le variazioni di energia cinetica, potenziale, chimica, ecc.. di tale massa e si considera solo quella di energia interna di ha che:
$\dU = dQ - dL_(ext)$
Se consideriamo l'intervallo di tempo di tale fase $\Deltat = t_i - t_v$ ove $t_i$ indica l'istante in cui si ha chiusura della valvola e $t_v$ indica l'istante in cui si ha apertura della valvola (per semplicità si considerino che apertura e chiusura avvengano istantaneamente), integrando l'ultima formula su tale intervallo di tempo, si ottiene il seguente bilancio:
$M_i u_i -( M_a u_a + M_r u_r ) = Q - L_(ext)$
ove $M_i$ è la massa totale che si ha all'atto della chiusura della valvola data dalla somma della massa di aria fresca miscelata con quella dei gas residui, $Q$ è il calore scambiato tra la carica fresca e pareti calde della macchina, mentre $L_(ext)$ è il lavoro che le forze esterne applicano sulla massa, ovvero dalla differenza fra il lavoro ceduto dai gas al pistone e quello compiuto dalla pressione all'ingresso del cilindro $p_a$ sul fluido, cioè :
$L_(ext) = \int pdV - (p_a/\rho_a)M_a$ ovvero
$L_(ext) = \int pdV - p_a\lambda_v V_c$ ove $\lambda_v$ è il coefficiente di riempimento e sta ad indicare che la massa effettivamente aspirata è inferiore rispetto a quella che potrebbe essere aspirata teoricamente, mentre $V_c$ è la cilindrata unitaria.
Se si considera una pressione media $p_c$ all'interno del cilindro durante l'intero processo (in realtà il pistone per convincere il fluido ad entrare deve causare una depressione in grado di vincere le varie perdite di carico etc.. ma essendo queste depressioni dell'ordine del centesimo di bar è plausibile considerare una pressione media), si ha che:
$L_(ext) = p_c (V_i - V_v) - p_a\lambda_v V_c$
Se non si considerano ritardi e anticipi di fase, $V_i - V_v = V_c$
Quindi si ottiene:
$M_i u_i -( M_a u_a + M_r u_r ) = Q - p_c (V_i - V_v) + p_a\lambda_v V_c$.
Fin qui nulla di difficile, però ora mi chiedo se lo stesso procedimento sia possibile applicarlo considerando l'equazione di conservazione dell'energia in forma Euleriana anziché lagrangiana, ovvero considerando un volume di controllo applicato alla porzione di cilindro in esame. Tale procedimento che ho effettuato e che riporto qui di seguito, richiederebbe l'utilizzo di un volume di controllo che, poiché delimitato dalle pareti laterali del cilindro e dalla testa mobile del pistone che si muove instante per istante, è variabile nel tempo e non fisso (come richiederebbe l'approccio Euleriano) dunque mi chiedo se abbia un senso affrontare la trattazione Euleriana di tale problema.
Comunque dalla teoria sappiamo che l'equazione di conservazione dell'energia applicata ad un volume di controllo percorso da un flusso di fluido in condizioni non stazionarie, la cui sezione d'ingresso sia indicata con 1 e quella di uscita con 2, è la seguente:
$dU = dM_1 e_1 - dM_2 e_2 + dQ - dL_(ext)$ ove
$e = u + c^2/2 + gz$
Ovvero è l'energia totale dell'unità di massa che percorre il sistema aperto. Se si considerano uguali o confrontabili le energie cinetiche in ingresso e uscita dal sistema aperto, e che i baricentri delle sezioni d'ingresso e uscita siano alla stessa quota, possiamo scrivere che:
$dU = dM_1 u_1 - dM_2 u_2 + dQ - dL_(ext)$
Nel nostro caso essendoci solo la sezione d'ingresso costituita dalla luce di aspirazione si ha che:
$dU = dM_a u_a + dQ - dL_(ext)$
Integrandola tra i due istanti di tempo di apertura e chiusura della valvola si ha che:
$\DeltaU = M_a u_a + Q - L_(ext)$ (trascurando il contributo di energia cinetica e potenziale gravitazionale)
ove $\DeltaU$ rappresenta la variazione di energia interna del sistema di controllo e dato dalla seguente espressione:
$\DeltaU = M_i u_i - M_r u_r$
A questo punto occupiamoci del lavoro $L_(ext)$ che rappresenta ancora il lavoro delle forze esterne (a meno della forza peso il cui contributo è tenuto in debito conto introducendo un opportuno potenziale gravitazionale $gz$ ma la variazione della quale è stata trascurata) applicate sulla superficie di controllo del sistema in esame.
Come sappiamo dalla teoria tale lavoro è dato dalla somma delle forze di pressione che servono a convogliare ed espellere il fluido all'interno del sistema di controllo cioè il lavoro di pulsione, che non è tecnicamente utilizzabile, e il lavoro all'asse della macchina detto anche lavoro tecnico o lavoro utile che è quello che interessa al livello tecnico.
$L_(ext) = L_p + L_t$
A questo punto io ho ragionato nel seguente modo: siccome la fase di aspirazione è una fase non utile per il motore cioè non viene estratto nessun lavoro utile durante tale fase, infatti è anche detta fase negativa e ciò che permette la sua esecuzione è l'inerzia di tutto il sistema (per questo si caletta sull'albero motore un volano in genere). Di fatti io ho posto $L_t = 0$ e ho scritto che:
$L_(ext) = L_p = \int pdV - (p_a/\rho_a)M_a = p_c (V_i - V_v) - (p_a/\rho_a)M_a$
Cioè il lavoro delle forze esterne è dovuto al contributo delle forze di pressione che agiscono sul pistone e di quelle che servono per convogliare il fluido all'interno del cilindro.
Dunque si ha che:
$M_i u_i - M_r u_r = M_a u_a + Q - p_c (V_i - V_v) - (p_a/\rho_a)M_a$
Ovvero:
$M_i u_i - M_r u_r = M_a (u_a + p_a/\rho_a) + Q - p_c (V_i - V_v)$
O meglio:
$M_i u_i - M_r u_r = M_a h_a + Q - p_c (V_i - V_v)$
Che sarebbe lo stesso risultato ottenuto prima, scritto però in un altro modo.
Spero che qualcuno possa rispondere per sottolineare qualche passaggio non esatto o confuso. Vi ringrazio per l'attenzione!
