Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

[Daniela0]

Buongiorno, scrivo nuovamemte perché avrei ancora delle domande, precisamente due.

1)A lezione abbiamo dimostrato la seguente formulazione per la seconda equazione cardinale. Io non capisco, quando la devo applicare negli esercizi, come interpretare il tensore d'inerzia dato che é un operatore che non ho mai ultilizzato e di cui c'é stato spiegato ben poco.
Possibile che io possa riscriverlo come il prodotto tra la matrice d'inerzia e $dot \omega$ o $\omega$ a seconda del vettore su cui é applicato?



2)In questo esercizio non capisco come abbia fatto a calcolare l'energia cinetica della corona circolare, o meglio non riesco a capire come ne abbia calcolato il momento di inerzia. Ho immaginato che avesse fatto il momento d'inerzia del disco grande meno quello piccolo ma a quanto pare non é cosí, dato che il risultato é il seguente:

Tdisco= $(5/8)MR^2 dot \varphi^2$

Anche perché non é un disco ma una corona circolare che ruota attorno al proprio diametro.

[Shackle]

Ti ho fatto cenno al tensore di inerzia, o meglio matrice di inerzia, per parlare in maniera più semplice a questi livelli, in una precedente discussione. Quando moltiplichi $[I]$ per il vettore $vecomega$ (righe per colonne, sono matrici) , ottieni il vettore momento angolare $vecL$. Quando moltiplichi $[I]$ per $dot\vec\omega$ ottieni la derivata nel tempo del momento angolare: ci deve essere un momento di forze esterne che causa la variazione di $vecL$ , come dice la seconda equazione cardinale della dinamica.

2) il momento di inerzia della corona circolare rispetto a un asse diametrale è la differenza tra i momenti di inerzia dei due cerchi, visto che $I$ è additivo.

[Daniela0]

1)Quindi effettivamente posso riscrivere il tensore come matrice di inerzia moltiplicata per il vettore a cui é applicato? O forse é sbagliato e non ho ben capito.




2)Quindi é sufficiente che sottraggo dal il momento d'inerzia del disco piú grande rispetto al diametro il momento d'inerzia del disco piú piccolo rispetto al diametro?

[Shackle]

Francamente sono io che non capisco il tuo dubbio. Hai scritto al primo membro il momento delle forze esterne agenti su un corpo rigido, calcolato rispetto a un polo O qualsiasi, non fisso nè coincidente col CM, visita l’espressione al secondo membro. Al secondo membro, i primi due termini rappresentano la derivata del momento angolare, rispetto allo stesso polo di prima, calcolata con la formula di Poisson (cioè: somma della derivata di $vecL$ nel rif. mobile e del prodotto vettoriale $vecomega\timesvecL$) ; gli altri termini sono aggiunti perché il polo non è fisso: consulta il tuo libro di teoria. Nella maggior parte delle applicazioni, comunque, il polo si assume fisso oppure coincidente col CM , così si evitano tante complicazioni.

Per la seconda domanda, la risposta è affermativa.

[Daniela0]

Non é chiaro come trattare il tensore d'inerzia nelle applicazioni. Lo tratto, cioé lo posso riscrivere, come una matrice(matrice d'inerzia) moltiplicata per il vettore velocità angolare?

2)Ho notato che se li sommo viene il risultato corretto, se li sottraggo no, non ne capisco il motivo, come scritto sopra li avrei sottratti.

[Shackle]

Non è chiaro? Te l’ho già spiegato, forse nell’altro thread. Per semplificare, Considera un corpo rigido con un punto fisso O e un riferimento cartesiano ortogonale con origine in O. Detta $[I]$ la matrice di inerzia del corpo rigido rispetto a $(Oxyz)$ (ti ho già detto quali sono i suoi elementi) , e detto $vecomega$ la velocità angolare del corpo, scrivi $vecomega$ come vettore colonna, i cui elementi sono le componenti di $vecomega$ . Il prodotto matriciale di $[I]$ per il vettore colonna detto fornisce un altro vettore colonna , i cui termini sono le componenti del vettore momento angolare del corpo rispetto ad O :

$vecL = [I]vecomega$

Più semplice di così, non so che dire. Consulta questo capitolo di Richard Fitzpatrick:

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... ode61.html

La formula che ti ho scritto è la 459 . Puoi trovare un corso intero di “ Newtonian Dynamics “ , di cui fa parte il capitolo.

Per il punto 2 , non saprei. Forse c’è qualche errore di calcolo.

[Daniela0]

Va bene, quindi la scrittura a matita fatta sopra é corretta giusto?

[Nikikinki]

Se non erro il termine $v_o\timesv_G$ dovrebbe semplificarsi a prescindere dal sistema di riferimento fisso o coincidente con il baricentro. A meno che tu non sia sicura del contrario posso provare a fare il conto e vedere.

[Daniela0]

Direi che sono sicura, la parte su cui non sono certa é quella con le matrici, é corretta scritta così?

[Nikikinki]

Sì. Tanto per togliermi la curiosità, come avete definito il momento angolare? L'espressione matematica in termini quelle quantità che hai scritto intendo. Ed anche il momento delle forze esterne.