Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 07/01/2019, 11:18

Daniela

la parte scritta con le matrici, cioè i primi due termini al secondo membro, è correttissima, te l’ho detto e spiegato varie volte. È spiegato pure nella dispensa che ti ho allegato.
È dunque l’universo uno, infinito, immobile. Una, dico è la possibilità assoluta, uno il massimo ed ottimo; il quale non deve posser esser compreso; e però infinibile ed interminabile, e per tanto infinito e interminato, e per conseguenza inmobile.
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Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Daniela0 » 07/01/2019, 11:51

In questo modo:

Immagine
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Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Nikikinki » 07/01/2019, 12:48

Bene, allora proviamo a ricavare il momento delle forze esterne con una dimostrazione rigorosa partendo da

$l_0=M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega)$ e $M_0=(dl_0)/dt+M(v_0\timesv_G)$ . Ometto i segni di vettori e l'apice $ext$ al momento.

$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega))+M(v_0\timesv_G)$

Scriviamo la derivata della somma. Uso il termine $D$ per la derivata fatta rispetto ad un sistema assoluto riferita al discorso che sicuramente conosci dell'identità di Poisson. In genere si mette una barra verticale con un pedice ma non ricordo mai la sintassi.

$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0)+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$

Facciamo la derivata del prodotto

$M_0=M(v_G-v_0)\timesv_0+M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$

Ora come vedi

$M(v_G-v_0)\timesv_0=M(v_G\timesv_0)+M(-v_0\timesv_0)=M(v_G\timesv_0)+0$

ma $M(v_G\timesv_0)=-M(v_0\timesv_G)$ quindi nella somma si cancella anche questo addendo con $+M(v_0\timesv_G)$ indipendentemente dal fatto che il sistema sia in $G$, condizione ancora non imposta. Resta che

$M_0=M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)$

sappiamo che, passami come ho detto la notazione scarna,

$D/(Dt)I_0(\omega)=d/(dt)I_0(\omega)+\omega\timesI_0(\omega)$

Quindi ciò che resta è

$M_0=M(G-0)\timesa_0+I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$

che è l'equazione dei momenti della forza per il corpo rigido.

Se $O$ è fisso : $M_0=I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$
Se $O=G$ : $M_G=I_G(dot{\omega})+\omega\timesI_G(\omega)$

Spero di non aver sbagliato qualcosa nel riscrivere qui il conto che ho fatto ma ribadisco, secondo me quel temine finale non va inserito nella somma perché si elide a prescindere. Non mi pare di aver fatto errori di concetto o altro e nemmeno voglio mettere in dubbio quello che avete fatto in classe, però mi resta la curiosità di capire in quale punto la dimostrazione che avete fatto è diversa. Magari il prof ha fatto altre considerazioni e sarei curioso da capire quali. Se ritrovi qualcosa sugli appunti fammi sapere.
Nikikinki
 

Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 07/01/2019, 14:19

Quando il momento delle forze esterne è calcolato rispetto a un polo che non è fisso, nè coincidente col CM o in moto parallelamente al CM, al secondo membro compare , oltre alla derivata del momento angolare rispetto allo stesso polo (che si calcola con la formula di Poisson più volte detta) , un termine aggiuntivo, uguale al momento, rispetto al polo mobile, della quantità di moto $Mvecv_G$ , applicato in $G$, rispetto al polo mobile. Questo termine è nullo solo se il polo è $G$ oppure è fisso o è in moto parallelamente a $G$ .
Qui c’è un esercizio:

viewtopic.php?f=19&t=131098&hilit=jacazio+pastorelli#p839707
È dunque l’universo uno, infinito, immobile. Una, dico è la possibilità assoluta, uno il massimo ed ottimo; il quale non deve posser esser compreso; e però infinibile ed interminabile, e per tanto infinito e interminato, e per conseguenza inmobile.
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Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Nikikinki » 07/01/2019, 14:23

Shackle ha scritto:Quando il momento delle forze esterne è calcolato rispetto a un polo che non è fisso, nè coincidente col CM o in moto parallelamente al CM, al secondo membro compare , oltre alla derivata del momento angolare rispetto allo stesso polo (che si calcola con la formula di Poisson più volte detta) , un termine aggiuntivo, uguale al momento, rispetto al polo mobile, della quantità di moto $Mvecv_G$ , applicato in $G$, rispetto al polo mobile. Questo termine è nullo solo se il polo è $G$ oppure è fisso o è in moto parallelamente a $G$ .
Qui c’è un esercizio:

viewtopic.php?f=19&t=131098&hilit=jacazio+pastorelli#p839707


Sì lo so infatti l'ho inserito. Ma si cancella prima di imporre $O=G$
Nikikinki
 

Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 07/01/2019, 15:16

Se il polo è mobile, non si cancella.
È dunque l’universo uno, infinito, immobile. Una, dico è la possibilità assoluta, uno il massimo ed ottimo; il quale non deve posser esser compreso; e però infinibile ed interminabile, e per tanto infinito e interminato, e per conseguenza inmobile.
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Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Nikikinki » 07/01/2019, 15:24

Allora dimmi dove ho sbagliato nel conto. Ho fatto una derivata e qualche somma. Posso certo aver sbagliato ma non vedo dove.
Nikikinki
 

Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 07/01/2019, 22:36

LA faccio breve. Consideriamo un riferimento inerziale $(Oxyz)$ fisso, e un solo punto materiale $(P,m)$ che si muove rispetto ad esso, con velocità $vecv$ , e quindi quantità di moto $vecp = mvecv$ . Prendiamo ora un polo $Omega$ , anch'esso mobile con velocità $vecv_\Omega$ nel riferimento detto.
Il momento angolare di $P$ rispetto a $Omega$ vale :

$vecL = vec(OmegaP) times vecp $


il punto $P$ ha raggio vettore $vecr$ rispetto ad $O$ ; il polo $Omega$ ha raggio vettore $vecr_\Omega$ rispetto ad $O$ ; si ha :

$ vecr = vecr_\Omega + \vec(OmegaP) $


come è evidente dalla figura seguente :

Immagine


Se su $P$ agisce una forza $vecF$ , la seconda equazione della dinamica dice che :

$vecF = (dvecp)/(dt) $


Molptiplicando a sinistra per $vec(OmegaP)$ , si ha :

$vec(OmegaP)timesvecF = vec(OmegaP) times(dvecp)/(dt)$


il primo membro non è altro che il momento della forza $vecF$ rispetto ad $Omega$ : lo chiamiamo $vecM$ . Per quanto riguarda il secondo membro, ci interessa introdurre il vettore momento angolare $vecL$ definito all'inizio, per cui deriviamo tale vettore rispetto al tempo :

$(dvecL)/(dt) = (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp + vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) $


e quindi, isolando il secondo termine al secondo membro :

$vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$


ora al primo membro possiamo scrivere il momento della forza $vecF$ rispetto al polo mobile $Omega$ :

$vecM =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$


al posto di $vec (OmegaP)$ possiamo scrivere : $ vecr - vecr_\Omega$ . Effettuando la derivata di questa differenza di vettori , e moltiplicando vettorialmente per $vecp = mvecv$, notiamo che $ (dvecr)/(dt) = vecv$ e $vecp= mvecv$ sono paralleli, per cui il loro prodotto vettoriale è nullo. Rimane perciò :

$vecM =(dvecL)/(dt) - (-vecv_\Omega timesvecp) =(dvecL)/(dt) + vecv_\Omega timesvecp$


quindi, il momento della forza esterna rispetto al polo mobile $Omega$ è uguale alla derivata temporale del momento angolare più la quantità $vecv_\Omega timesvecp$ , che non si annulla se non quando il polo $Omega$ è fisso. Naturalmente qui non si parla di centro di massa perché le equazioni sono state scritte per un solo punto materiale . Ma il procedimento è analogo se si parla di un corpo rigido , nel qual caso la quantità di moto è uguale alla massa del corpo per la velocità del CM :

$ vecP = mvecv_(CM) $


per cui , nel caso del corpo rigido si può dire che il termine aggiuntivo è nullo solo se :

1) il polo $Omega$ è fisso, oppure
2) il polo è coincidente con il CM , perché hanno la stessa velocità, oppure
3) il polo è diverso dal CM , ma ha velocità parallela a quella del CM .

Naturalmente , resta valido tutto quanto detto circa il calcolo della derivata del momento angolare $(dvecL)/(dt)$ nel riferimento fisso , che si effettua applicando la formula di Poisson .
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Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Nikikinki » 08/01/2019, 04:40

Vabè insomma ho capito che non vuoi guardarlo quello che ho scritto, perché questi sono esattamente i presupposti da cui sono partito, come ti sto dicendo da tre messaggi e come sarebbe evidente guardando il primo rigo del calcolo. Infatti la dipendenza dal polo mobile permane anche nel mio calcolo ma solo sottoforma di accelerazione dello stesso. Comunque hai esposto una chiara spiegazione, sarà sicuramente utile a chi legge.
Nikikinki
 

Re: Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 08/01/2019, 08:25

I tuoi calcoli li ho guardati, invece. I passaggi sono giusti, ma penso che l'errore sia nella prima riga , cioè nella scrittura di di $l_0$ e di $M_0$ . Non dovrebbe esserci , nel primo termine , la velocità di G , cioè $v_G$ , anzichè quella del polo $v_0$ ? E perché in $M_0$ parti già dal presupposto che sia presente il termine $M(v_0\timesv_G)$?

Nikikinki ha scritto:$l_0=M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega)$ e $M_0=(dl_0)/dt+M(v_0\timesv_G)$


spiega per quale ragione hai scritto queste due quantità in questo modo.
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