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Decomposizione di SU(4) in irreps di SU(2)xSU(2)xU(1)

11/01/2019, 20:36

Salve ragazzi.
Avrei la seguente domanda relativa ad un problema di teoria dei gruppi (non sapendo in quale categoria rientrasse la domanda, la posto in questa sezione. in caso di irregolarità provvederò a rimuovere):
Consideriamo la rappresentazione $ \underline{6} $ del gruppo $ SU(4) $ . Decomporre tale rappresentazione come somma diretta dei sottogruppi $ SU(2)\times SU(2)x $ SU(2)\times U(1) $ U(1) $.
Il dubbio riguarda ora come faccio a determinare quali combinazioni di irreps di tale sottogruppo posso utilizzare. Ad esempio, potrei scegliere la decomposizione $ (1, 1, 1/\sqrt{2})\oplus (2, 2, 0)\oplus(2, 2, 0)\oplus(1, 1, -1/\sqrt{2}) $ oppure la decomposizione $ (3, 3, 1/{9\sqrt{2}})\oplus(1, 1, 1/\sqrt(2)) $ . entrambe tornano dimensionalmente, ma credo che non siano entrambe accettabili (in particolare la seconda, che ho usato al solo scopo di chiarire quale fosse il dubbio. mi chiedo anche se il numero di componenti che costituiscono la somma diretta dipenda dal rango dell'algebra, e abbia quindi un qualche legame con la costruzione di una base di Cartan Weyl... :roll: ).
il dubbio sorge dal fatto che per $ SU(3) $ esiste un metodo per determinare in modo esatto la sua decomposizione in irreps del sottogruppo $ SU(2)\times U(1) $ (la spiegazione del metodo si trova a pagina 183 del libro H. Georgi: Lie Algebras in Particle Physics).
Grazie in anticipo!! :D :D

Re: Decomposizione di SU(4) in irreps di SU(2)xSU(2)xU(1)

11/01/2019, 22:28

Puoi rammentare come si fanno questi conti? In particolare, cos'è \(\underline 6\)?

Re: Decomposizione di SU(4) in irreps di SU(2)xSU(2)xU(1)

11/01/2019, 23:20

$\underline{6}$ rappresenta una rappresentazione irriducibile 6-dimensionale di $SU(4)$. la scrittura $(a, b, c)$ indica (per $SU(2)\times SU(2)\times U(1)$) una rappresentazione composta dal prodotto diretto di un multipletto a-dimensionale per un multipletto b-dimensionale di $SU(2)$ cui è associata una fase (data da $U(1)$). Il termine di $U(1)$ non contribuisce alla dimensione, siccome $U(1)$ è il più semplice gruppo di Lie, la cui algebra contiene un unico elemento, quindi posso dire che lo spazio di rappresentazione del $SU(2)\times SU(2)\times U(1)$ è isomorfo a $\Re ^{a*b}$, e quindi la dimensione di $(a, b, c)$ è $a*b$. la decomposizione che ho scritto io è stata creata tenendo in considerazione solo questo fatto, e quindi scegliendo una somma diretta in cui i valori di a e b fossero opportuni, il che è ovviamente sbagliato (anche per il fatto che ho considerato un valore qualsiasi dell'ipercarica).
in ogni caso sono riuscito a trovare una soluzione al problema consultando una nuova versione del libro di testo prima considerato (H. Georgi: Lie algebras in particle physics 2nd edition, pagina 195). :oops:
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