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Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 12:08

Ciao, voglio calcolare il potenziale esterno di una lastra uniformemente carica ed infinitamente estesa che va da X=0 ad X=a, con ipotesi di potenziale nullo ad infinito.

Calcolo E esternamente (per comodità lavoro sulla parte X>a):

$ E=(rho\cdot a)/(2*epsi $

\( dV=-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl} \)

\( V(P)-V(infinito)=\Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl \)

\( \Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl =\int_{infinito}^{P} (\rho \cdot a)/(2\cdot \varepsilon )\, dx \)

è normale che non venga finito il risultato?

Grazie

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 14:35

Credo di aver capito da solo quale è il problema.
Che essendo la distribuzione infinita, mi conviene prendere il potenziale in un punto della distribuzione stessa e non ad infinito.

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 17:49

Sicuramente è meglio far annullare il potenziale sulla distribuzione, ma a parte quello se vuoi ricavare il potenziale noto il campo, sfruttando quindi $E=-grad(V)$, non puoi integrare fino a infinito. Se vuoi fare il conto rigoroso sul potenziale andando all'infinito devi usare la definizione. Hai fatto un mix delle due.

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:08

Ah, questo non lo sapevo proprio, pensavo la relazione dV=-E*dl andasse sempre bene quando il campo era conservativo, grazie!!

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:20

Non bestemmiamo :-D l'esistenza del potenziale è strettamente legato alla conservatività del campo. Io ho solo detto che per ricavare il potenziale, noto il campo, non devi integrare fino a infinito ma, ad esempio, da $0$ a $x$. E' una relazione matematica, lì l'integrale è inteso come ricerca di primitive. Invece se usi la definizione fisica di potenziale, separi i differenziali, integri su un cerchietto nel piano indefinito e poi mandi il raggio a infinito per coprire tutto il piano.

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:35

Stai distruggendo tutte le mie convinzioni, spero che ci siamo capiti male :)

Io ho sempre integrato (usando la formula dV=-E*dl) dal punto in cui il potenziale era più basso al punto in cui il potenziale era più alto.
Se per ipotesi il potenziale era nullo ad infinito allora il punto in cui il potenziale era più basso era proprio infinito.

Chiaramente io sto dicendo che uso la formula dV=-E*dl , ma intendo che la uso quando sto trattando casi ad una dimensione, altrimenti uso il gradiente.

Mi stai dicendo che questo non è corretto?
Ultima modifica di matteo_g il 12/01/2019, 19:45, modificato 1 volta in totale.

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:38

In questo modo per intenderci https://www.google.com/search?q=potenzi ... eAJspLyZLM:

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:51

Forse mi sono spiegato male io. Sto semplicemente dicendo che noto il campo elettrico, e per noto intendo noto davvero, perchè tu lì hai inserito il valore $\sigma/(2\epsilon)$ quindi l'hai già calcolato o ti è noto per qualche motivo, poi $(dV)/dx=-E=-\sigma/(2\epsilon)$ .
A questo punto $V(x)=\int-\sigma/(2\epsilon)dx= -\sigma/(2\epsilon) x$ che equivale a mettere a zero il potenziale a infinito.

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

12/01/2019, 19:58

Si benissimo, su questo sono perfettamente d'accordo.

Fortunatamente ci eravamo capiti male !! :)

Re: Potenziale lastra uniformemente carica

13/01/2019, 00:38

Nikikinki ha scritto:che equivale a mettere a zero il potenziale a infinito.


Non sono d'accordo. Mettere il potenziale zero all'infinito significa che quando hai $\frac {dV} {dx} = f(x)$ ed integri:
$$\int_{\infty}^{x} dV = \int_{\infty}^{x} f(x) dx$$
$$ V(x) - V(\infty) = f(x) - f(\infty)$$
(dove con $V(\infty)$ e $f(\infty)$ intendo ovviamente $lim_{x->\infty} V(x)$ e $lim_{x->\infty} f(x)$) tu poni $V(\infty) = 0$. In questo caso si rimane con:
$$V(x) - 0 = f(x) - f(\infty)$$
$$V(x) = f(x) - f(\infty)$$
Dove, nel 99% dei casi è anche $f(\infty) = 0$ (ma questo NON è un cosa che DEVE succedere necessariamente).

Quindi in questo caso porre il potenziale nullo all'infinito genererebbe un non senso, ovvero $V(x) = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon} + \infty$.

La risposta è che quando hai una distribuzione di carica infinita, il campo elettrico (e quindi il potenziale) non va a zero all'infinito!. E' per questo che, in questi casi, si preferisce scegliere un altro punto di riferimento. La motivazione fisica è molto semplice: di solito si mette il potenziale nullo all'infinito perché nelle comuni circostanze il campo elettrico va come $frac 1 {r^n}$ e quindi tende a zero all'infinito, ma se hai una carica che si estende infinitamente nello spazio, come fai a dire che il campo elettrico si "attenuerà"? Non puoi.

In questo caso è più pratico integrare da $0$ a $x$ e e porre $V(x=0) = 0$ in questo modo:
$$V(x) = f(x) - f(0) = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon} + 0 = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon}$$
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