Inghippo su un cilindro in un campo magnetico variabile

[Nagato]

Ho difficoltà a impostare questo esercizio: ho un cilindro conduttore di cui conosco il raggio $a$, la resistività $rho$ e la lunghezza $l$, immerso in un campo \(\displaystyle \mathbf{B}=B_0\sin(\omega t)\mathbf{e}_z \). Mi si chiede come prima cosa di trovare la densità di corrente in funzione di $r$ e del tempo.

Ho pensato di usare la legge di Ohm, \(\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{E}/\rho \); il campo elettrico è quello generato dalla variazione del campo magnetico, quindi presumo l'equazione giusta da usare sia la legge di Faraday, \(\displaystyle \text{rot }\mathbf{E}=-\partial_t \mathbf{B} \). Solo che non so bene come calcolare il rotore del campo, non sapendo nemmeno come è fatto... secondo voi come posso farlo funzionare?

[mgrau]

E il cilindro come è orientato?

[Nagato]

Ha l'asse lungo $z$, con l'origine a metà della lunghezza...

[mgrau]

In sostanza è un disco, attraversato parallelamente all'asse da un campo magnetico oscillante. Allora dalla legge di Faraday, o terza equazione di Maxwell, $rot E = -(partialB)/(partial t)$ e dalla simmetria trovi $E$ in funzione del raggio (risulta in modulo proporzionale al raggio, e oscillante pure lui come $B$, sfasato di 90°)
Puoi usare $ f.e.m. = 2pirE = -(dPhi)/(dt)$ così non hai da trattare col rotore.

[Nagato]

Ho solo un dubbio probabilmente stupido... il flusso attraverso il cilindro, che è una superficie chiusa, non è nullo?

[mgrau]

il flusso attraverso il cilindro, che è una superficie chiusa, non è nullo?

Non si tratta di Gauss, ma di Faraday... pensa al flusso attraverso le basi del cilindro (o disco): non c'entra qui entrante o uscente, le basi non sono superfici chiuse. Il flusso è lo stesso attraverso le due basi, ma non interessa nemmeno vederle separate. Quel che interessa è che la sua variazione determina la circuitazione di E lungo il contorno, ossia, nel caso nostro, lungo la superficie laterale del cilindro. Poi puoi pensare che per ogni cilindro, coassiale con questo, con raggio $r<R$, si può fare lo stesso ragionamento, per cui un campo $E$ rotazionale c'è non solo lungo la superficie laterale ma in tutte le superfici concentriche, ossia in tutto il volume del cilindro.

[Nagato]

Ok. Quindi in pratica considero una sezione del cilindro, vi calcolo il campo con Faraday e uso la legge di Ohm per trovare la densità di corrente che scorre nella sezione.

Ma quindi... la corrente scorre radialmente nel cilindro? Faccio fatica a immaginarmela

Comunque mi viene così: \[\displaystyle \varphi_S(\mathbf{B})=B_0\sin(\omega t)\pi r^2, \ \Rightarrow -\dot\varphi_S(\mathbf{B})=-B_0\pi r^2\omega\cos(\omega t), \\ \mathbf{E}(r)= -\frac{1}{2}B_0 r\omega\cos(\omega t)\mathbf{e}_\theta, \ \Rightarrow \ \mathbf{J}=-\frac{1}{2\rho}B_0 r\omega\cos(\omega t)\mathbf{e}_\theta. \]

[mgrau]

Ma quindi... la corrente scorre radialmente nel cilindro? \]

No, che non scorre radialmente... scorre circolarmente sui vari gusci cilindrici (hai mai visto un porro? una specie di cipolla ma cilindrica invece che sferica), con intensità che, a occhio, cresce linearmente col raggio.

[Nagato]

Ahh giusto... tra l'altro se il campo elettrico non è circonferenziale non può funzionare il calcolo della circuitazione...

Ma allora ho un'ultima (stupida) domanda: a priori, sapendo che $B$ va lungo $z$, come so se il campo elettrico va lungo $theta$ o lungo $r$?

[mgrau]

sapendo che $B$ va lungo $z$, come so se il campo elettrico va lungo $theta$ o lungo $r$?

Un campo elettrico radiale - a parte che non si capisce dove andrebbe a finire la corrente una volta arrivata al bordo - darebbe una circuitazione nulla