Una palla da bowling omogenea, di massa \( m \), di raggio \( R \) e di momento d'inerzia \( I_G = \frac{2}{5} m R^2 \) per rapporto ad un asse passante per il suo centro di massa \( G \), è lanciata sul suolo orrizzontale. Al tempo \( t_0 =0 \), la palla scivola sul suolo con una velocità di centro di massa \( \vec{v}_G(t_0) = \vec{v}_0 \) orizzontale e una velocità angolare di rotazione \( \vec{\omega}(t_0)=\vec{0} \). A causa dell'attrito sul suolo, la palla si mette a ruoteare ed il rotolamento diventa senza scivolamento al tempo \( t_1 \). Il coefficiente d'attrito cinetico è \( \mu_{c} \) e il coefficente d'attrito statico è \( \mu_s \). Trascuriamo tutti gli attriti dell'aria.
a) Scrivere le equazioni differenziali del moto della palla tra \( t_0 \) e \(t_1\)
b) Calcolare il tempo \( t_1 \)
Per il punto a) ho pensato che siccome la palla tra \( t_0 \) e \( t_1 \) scivola allora l'attrito è cinetico siccome il punto d'applicazione della forza d'attrito (che chiamerò \( P \) ha velocità uguale a quella del centro di massa \( G \) dunque la velocità non è nulla e l'attrito è cinetico. Pertanto le forze in gioco sono il peso, la forza normale e l'attrito
\( \vec{P} = -mg \widehat{e}_y \), \( \vec{N}=N\widehat{e}_y \) e la forza d'attrito cinetico \( \vec{F} = - \mu_c N \widehat{e}_x \)
Dunque per la seconda legge di Newtonle equazioni del moto sono su \( \widehat{e}_y \)
\( N -mg = 0\); e su \( \widehat{e}_x \):
\( -\mu_c N = m \ddot{x} \)
Da cui deduciamo che \( -\mu_c mg = m \ddot{x} \Rightarrow \ddot{x} = -\mu_c g \)
L'unica forza che applica un momento di forza è l'attrito dunque
\( M_G(\vec{F}) = - \mu_c mg R =\dot{\omega } I_G = \dot{\omega }\frac{2}{5}mR^2 \Rightarrow \dot{\omega }= -\frac{5g\mu_c }{2R} \)
Per il punto b) Al tempo \( t_1 \) l'attrito diviene statico in quanto la palla inizia a ruoteare senza scivolare e pertanto il punto d'applicazione del attrito ha velocità nulla. Pertanto abbiamo la condizione su \( t_1 \) è che la velocità in \( P \) è nulla o in modo analogo che la velocità in \( G \) è uguale a \( \omega R \).
\[ \int \ddot{x} dt = -\mu_cgt + v_0 \]
E pertanto abbiamo che \( -\mu_c gt_1 + v_0 = \omega R \) il fatto che \( \omega \) come lo trovo? \( \omega \) posso integrarlo rispetto al tempo? Perché se non sbaglio \( \omega = \dot{\theta}(t) \) dunque posso integrare \( \ddot{\theta}(t) \) per ottenere \( \omega = -\frac{5g\mu_c }{2R} t \) e dunque
\( -\mu_c gt_1 + v_0 = -\frac{5g\mu_c }{2} t_1 \Rightarrow t_1 = - \frac{5v_0}{3g\mu_c} \) che mi esce un tempo negativo, e dunque ho fatto almeno un errore di segno da qualche parte. È corretto il ragionamento? Grazie mille