Verso della corrente indotta

[Nagato]

Ciao a tutti, vorrei una volta per tutte capire il metodo generale per calcolare il verso della corrente indotta nei problemi di induzione elettromagnetica. Posto questo problema come prototipo:

La sbarretta conduttrice $AB$ di lunghezza $L$ scivola priva di attrito con velocità costante \(\displaystyle \mathbf{v}=v\mathbf{e}_x \) lungo due guide conduttrici, mantenendosi ortogonali ad esse. Ad una estremità le guide sono collegate da un conduttore di resistenza $R$, mentre la sbarretta e le guide hanno resistenza trascurabile. A distanza $d$ da una delle guide è posto un filo indefinito che giace nel piano parallelo alle guide ed è percorso da una corrente \(\displaystyle \mathbf{I}=-I\mathbf{e}_x \). Determinare:

(a) La corrente indotta nella sbarra.

Parto dal campo del filo e calcolo il flusso attraverso il circuito chiuso dalla sbarretta in movimento, la cui area in un dato momento è \(\displaystyle S(t)=Lx=Lvt \). Dato che la corrente scorre verso sinistra, il campo del filo dovrebbe essere uscente, quindi oriento un asse $z$ in modo da renderlo positivo. Quindi: \[\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi y}\mathbf{e}_z \Rightarrow \varphi_S(\mathbf{B})=\int_S \mathbf{B}\cdot\mathbf{e}_ndS=\frac{\mu_0I}{2\pi}\int_0^{vt}\left(\int_d^{d+L}\frac{1}{y}dy\right)dx=\frac{\mu_0Ivt}{2\pi}\log\left(\frac{d+L}{d}\right), \\ \Rightarrow i=\text{fem}/R=-\dot\varphi_S/R=-\frac{\mu_0Iv}{2\pi R}\log\left(\frac{d+L}{d}\right). \] Sempre che non abbia commesso errori di calcolo, qualcuno mi può spiegare in modo semplice come capire se il verso della corrente risulta essere orario o antiorario nel circuito? Grazie mille in anticipo!

[Palliit]

Ciao. Il fatto che tu abbia orientato l'asse $z$ in modo da rendere positivo il verso in cui il campo $vec(B)$ del filo attraversa il rettangolo implica che tu abbia fissato anche un orientamento sul perimetro del rettangolo stesso. Precisamente sarà da intendere positivo il verso di percorrenza che determini con una delle svariate regole della mano destra (dài un'occhiata qua). Il fatto che la corrente risulti negativa indica che percorre il perimetro del rettangolo nel verso opposto.

[mgrau]

Un criterio per trovare il verso può essere questo: un circuito tende a mantenere costante il flusso di B che lo attraversa, così, per es. nel caso di B costante e area del circuito in aumento, la corrente indotta produce un campo B opposto all'esistente, e viceversa, se l'area diminuisce, il campo B indotto si somma all'esistente

[Nagato]

Grazie a entrambi per le risposte. Sì, in questo caso si poteva fare con la mano destra, ma ero interessato a capire cosa fosse questo altro criterio. Quindi dato che l'area in questo caso aumenta, il flusso è opposto a quello uscente del filo, cioè è entrante, e per generare tale campo la corrente dovrebbe scorrere in senso orario...

Con la regola della mano destra mi torna: per come ho orientato l'asse $z$ la normale al circuito è uscente, quindi il verso di percorrenza positivo del circuito è quello antiorario, e quindi la corrente negativa scorre in quello orario

Nel primo metodo: è giusto dire che, orientato un asse $z$, a flusso opposto corrisponde sempre una corrente negativa?

[Palliit]

Nel primo metodo: è giusto dire che, orientato un asse $z$, a flusso opposto corrisponde sempre una corrente negativa?

No. Il verso della corrente indotta non dipende dal verso in cui il campo fluisce attraverso la superficie, bensì dalla monotonia che il flusso magnetico ha, rispetto al tempo, nel verso che hai scelto.
Facendo riferimento all'immagine del post che ti ho linkato: se hai un flusso magnetico crescente nel verso indicato (o, equivalentemente, decrescente in quello opposto), la corrente nella linea sarà discorde con l'orientamento in cui questa è orientata, se viceversa nel verso fissato il flusso magnetico è decrescente, la corrente indotta circolerà concordemente con il verso fissato sulla linea.

In accordo, come sottolineato da @mgrau, col fatto che il campo magnetico associato alla corrente indotta si opponga al crescere/decrescere del flusso che genera il fenomeno.

[Nagato]

Ah, ok. E' più facile pensare direttamente al flusso allora comunque grazie per la risposta... magari posterò un altro esercizio simile per vedere se ho capito bene!