Spira che cade in un campo magnetico

Ciao a tutti, supponiamo che una spira quadrata di lato $l$ giacente in $xy$ stia cadendo lungo $z$, in un campo$B=B_0(1+cz)e_z$. Ho trovato la fem indotta come $V(t)=B_0l^2cg t$, considerando la dipendenza di $z$ dal tempo come \(\displaystyle z(t)=-gt^2/2 \). Il verso della corrente: siccome il flusso del campo magnetico è positivo, perché diretto come la normale, la corrente deve generare un flusso opposto, cioè verso il basso, e quindi in questo caso è oraria. Corretto?

Tolto questo dubbio, ne ho un altro ben più grave. Mi si chiede la forza che agisce sulla spira. Ma dato che ogni lato subisce una forza uguale e opposta a quello ad esso parallelo, la forza magnetica totale è zero! E quindi l'unica forza che agisce sarebbe gravitazionale. Il problema è che come ultima richiesta mi si chiede risolvere l'equazione di moto della spira per tempi grandi. L'equazione di moto però se la forza è puramente gravitazionale è banale! Cosa sto errando?

Ma dato che ogni lato subisce una forza uguale e opposta a quello ad esso parallelo, la forza magnetica totale è zero!
Cosa sto errando?

Le forze sul lato in alto e quello in basso non sono uguali perchè il campo $vec B$ varia con $z$

Ma la spira giace senza ruotare nel piano $xy$, quindi per ogni lato $z$ è costante...

Ma la spira giace senza ruotare nel piano $xy$, quindi per ogni lato $z$ è costante...

Già, scusa, mi ero confuso. Però se è così le forze non si annullano affatto, sono dirette verso l'alto su tutti e quattro i lati.

Scusa, se prendo ad esempio il lato orizzontale in cui la corrente circola da sinistra a destra (verso positivo dell'asse $x$), la forza sarebbe \(\displaystyle \mathbf{F}=id\mathbf{l}\times\mathbf{B}\) e considerando solo le direzioni, quella di $F$ sarebbe \(\displaystyle \mathbf{e}_x\times\mathbf{e_z}=-\mathbf{e}_y \), che si annulla con quella che agisce sul lato opposto. O no?

Già, devo aver fatto ancora confusione. Però... ho ragionato diversamente, cioè, visto che nella spira circola corrente, questo non può essere che a spese dell'energia potenziale gravitazionale, quindi la spira DEVE subire un frenamento nella caduta, ci dev'essere una forza verso l'alto... E' anche chiaro che se il campo non dipendesse da z non ci sarebbe corrente, quindi la variazione con z è essenziale... proverò a pensarci meglio

E' un bel problemino...

Mi viene in mente che forse la soluzione sta nel fatto che un campo B diretto come z e con intensità dipendente da z non può esistere in quanto non ha divergenza zero. Bisogna che abbia componenti anche secondo x e y (ossia le linee devono convergere o divergere) cosi che le forze sulla spira hanno una componente lungo z

E' possibile vedere una IMMAGINE del testo completo?