prolema su momento di inerzia

[FreshBuddy]

ho un quadrato in un sistema di riferimento
il quadrato è ruotato in senso antiorario di un angolo alfa rispetto all'asse delle x ed è staccato dall'asse stesso
il problema chiede il momento di inerzia del quadrato rispetto a x conoscendo il lato l e l'angolo alfa

ho subito imposto :

$y=ycos(alfa)$

ora quando vado ad integrare
in dxdy,gli estremi di integrazione sono 0-L IN entranbi i casi?

[FreshBuddy]

potete aiutarmi?purtroppo questo argomento non l'ho comperso appieno..

[cavallipurosangue]

Ah se solo tu conoscessi il circolo di Mohr...

[FreshBuddy]

ma in pratica è lungo calcolarlo oppure è tanto facile?

[cavallipurosangue]

beh dipende... in questo caso no per nulla... infatti l'ellisse d'inerzia del quadrato è in realtà un cerchio...

[FreshBuddy]

detesto la mia ignoranza...non conosco l'ellisse di inerzia...pensavo si potesse calcolare con i metodi convenzionali tipo huyigens...poi avevo al massimo pensato a costruite una funzione che descrivesse il quadrati con y in funzione di x ma mi sembrava eccessivo...

[cavallipurosangue]

Va bene cmq vediamo se riesco a spiegarti il perchè... Allora intanto chiamiamo $Gx''y''$ il sistema di assi per il quale vogliamo conoscere i momenti d'inerzia, e $Gx'y'$ un altro sistema di assi nel quale riteniamo particolarmente comodo calcolare il momento d'ineriza della nostra figura piana. Chiamiamo inoltre $Gxy$ il sistema principale, così chiamato perchè il momento centrifugo è ivi nullo. Chiaramente tutti e tre i sistemi sono centrali, per semplicità, tanto poi per qualsiasi altro punto esiste il teorema di Huyghens Steiner...
Per la definizione quindi:

${(I''_x=int_{Omega}y''^2dA),(I''_y=int_{Omega}x''^2dA),(I''_(xy)=\int_(\Omega)x''y''dA):}$


${(I'_x=int_{Omega}y'^2dA),(I'_y=int_{Omega}x'^2dA),(I'_(xy)=\int_(\Omega)x'y'dA):}$

essendo poi:

${(x''=x'cosalpha+y'sinalpha),(y''=-x'sinalpha+y'cosalpha):}$

Facendo le opportune sostituzioni ottieni:

${(I''_x=I'_ysin^2\alpha+I'_xcos^2alpha-2sinalphacosalphaI'_{xy}),(I''_y=I'_ycos^2\alpha+I'_xsin^2alpha+2sinalphacosalphaI'_{xy}),(I''_(xy)=(I'_x-I'_y)sinalphacosalpha-I'_(xy)(cos^2alpha-sin^2alpha)):}$

Oppure ancor meglio:

${(I''_x=I_ysin^2\alpha+I_xcos^2alpha),(I''_y=I_ycos^2\alpha+I_xsin^2alpha),(I''_(xy)=(I_xx-I_y)cosalphasinalpha):}$

essendo poi in questo caso particolare $I_x=I_y=I$:

${(I''_x=I),(I''_y=I),(I''_(xy)=0):}$

Infine $I_G=I_x+I_y=2I$

finito...

Chiaramente però $alpha$ è l'angolo di cui è ruotato il sistema ('') rispetto a quello (') o quello () e positivo in senso antiorario; nel tuo caso invece è il contrario, quindi tutti gli angoli vanno considerati negativi a rigore...

[FreshBuddy]

grazie mille!

[cavallipurosangue]

Di nulla...

[mircoFN]

Ah se solo tu conoscessi il circolo di Mohr...

parole sante!