Problema di Matematica e Fisica nella Simulazione di Esame di Stato

[gugo82]

Come saprete, lunedì scorso gli studenti del liceo scientifico hanno sostenuto la prima simulazione del compito di Matematica e Fisica per l'esame di stato.

Il primo problema (risolto, per quanto riguarda la parte analitica, da me qui) ha posto a me ed ai colleghi un problema interpretativo nella parte finale, problema che non sono riuscito completamente a sciogliere.
Gradirei leggere pareri in merito.

Riporto il testo (grazie @melia!) qui di seguito, eliminando il soverchio e chiarisco in fondo il mio dubbio:

Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:
\[
q(t) = at\cdot e^{bt}
\]
[...]

3. Supponendo che la funzione $q(t)$ rappresenti, per $t >= 0$, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo $t$ (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti $a$ e $b$ sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ [come nel punto 2 del Problema, n.d. gugo82], esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante $t$; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.

4. Indicando, per $t_0 >= 0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0 -> +oo$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Omega$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.

I dubbi sono questi:

• ha senso fisico/interpretazione univoca la definizione di $q(t)$ data in 3?
  
  
• è lecito sfruttare $i(t)=q^\prime (t)$ anche se nella definizione "fisica" di $q(t)$ c'è un riferimento alla sezione del conduttore?
  
  
• ha senso fisico calcolare (come penso fosse nelle intenzioni degli estensori del problema) $Q(t_0)=int_0^(t_0) q(t)"d"t$?

Probabilmente sono fatti banali, ma sono un po' di anni che non vedo queste cose nel dettaglio.

Grazie a chi si prenderà la briga di rispondere.

[Indrjo Dedej]

@gugo82, hai fatto bene a chiedere.

[gugo82]

@Indrjo Dedej:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mah... Recentemente ho seguito dei seminari organizzati da un ispettore del ministero (proprio di quelli che scrivono i testi di esame) che ci ha proposto una domanda a scelta multipla del tipo:

Dire che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di una funzione $y=sin x$ nel punto $0$ è $1$ equivale a dire che...

e l'alternativa corretta (a suo dire) era:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x} = 0\; .
\]
Ma ciò non è vero (come gli ho fatto notare subito, da ex docente di Analisi I) perché la soluzione proposta "equivale a dire" che la retta di equazione $y=x$ è la retta tangente in $(0,0)$ al grafico della funzione (anzi, è proprio la definizione di retta tangente, se vuoi, perché è la definizione di differenziabilità) e non a dire che il coefficiente angolare della tangente è $1$, cosa espressa dal limite del rapporto incrementale:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x} = 1
\]
che fornisce il valore della derivata di $sin x$ in $0$.

[Palliit]

@gugo: il dubbio interpretativo sulla frase che dovrebbe definire la funzione $q(t)$ del testo è più che legittimo, direi che è ottima la risposta che dà qui @mgrau e che riassumo: la frase è fisicamente scorretta, ha senso eventualmente parlare della carica "accumulata" al tempo $t$ a valle della sezione (ovvero che l'ha attraversata da un tempo non precisato fino al tempo $t$); potrebbe diventare corretta se descrivesse una densità di corrente, per cui è previsto un senso di variabile istantanea definita sulla sezione, ma direi che quelle poche parole sulle dimensioni fisiche (coulomb) della funzione $q(t)$ tolgano ogni dubbio sulla seconda possibilità (che è evidentemente da scartare).
Assunto di peso che questo sia il significato da attribuire a $q(t)$, diventa corretto calcolare l'intensità di corrente derivandola rispetto al tempo; è invece sbagliato integrarla per rispondere alla domanda 4 : visto che l'unica interpretazione che dà un senso al problema è, a mio parere, quella che ho esposto, quella che il testo indica come $Q(t_0)$ corrisponde banalmente a:$" "q(t_0)-q(0)$, ossia, se proprio si vuole integrare: $Q(t_0)=int_0^(t_0)dot q(t)dt$.

Detto per inciso, l'integrale che hai scritto:$" "int_0^(t_0)q(t)dt" "$ non può essere una carica: se $q(t)$ è dimensionata in coulomb, questo è esprimibile in $C*s$, che qualunque cosa sia non è una carica.

Salvo miei errori.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ben contento di non averlo somministrato

[Nikikinki]

Boh la madre di tutte le ambiguità. Comunque se non l'avessero chiamata $q(t)$ io leggendo un testo dove mi si dice "si consideri la $f(t)$ come la carica che attraversa una superficie al tempo $t$ avrei risposto con una densità di corrente che appunto si misura in $C/(sm^2)$. Però a questo punto per ricavare la corrente avrei dovuto integrare sulla superficie e non viene data. Quindi la intendono proprio come carica. Mah se si fossero risparmiati quel $t$ a moltiplicare almeno si poteva vedere come la scarica di un condensatore con carica iniziale $a$ e costante di tempo di circuito $1/b$ visto che ci hanno messo un valore negativo numerico. Secondo me sono partiti da questo, poi hanno visto che ovviamente lo studio di funzione, derivate ed integrali sarebbero stati banali e ci hanno aggiunto la complicazione matematica perdendo di senso fisico. Ma comunque resta ambigua nelle parole.

[RenzoDF]

l ... direi che quelle poche parole sulle dimensioni fisiche (coulomb) della funzione $q(t)$ tolgano ogni dubbio sulla seconda possibilità ...

Direi che, insieme alla richiesta del quarto punto, tolgano ogni dubbio sulla inettitudine dello stesore.

[Palliit]

Direi che insieme alla richiesta del quarto punto, tolgano ogni dubbio sulla inettitudine dello stesore.

Mi trovi del tutto concorde. Possibile che nessuno minimamente competente controlli le tracce prima di pubblicarle? Mah.

[peppe_89]

quella che il testo indica come $Q(t_0)$ corrisponde banalmente a:$" "q(t_0)-q(0)$, ossia, se proprio si vuole integrare: $Q(t_0)=int_0^(t_0)dot q(t)dt$.

Detto per inciso, l'integrale che hai scritto:$" "int_0^(t_0)q(t)dt" "$ non può essere una carica: se $q(t)$ è dimensionata in coulomb, questo è esprimibile in $C*s$, che qualunque cosa sia non è una carica.

Salvo miei errori.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ben contento di non averlo somministrato

D'accordissimo sulla considerazione sulle unità di misura, è la prima che mi ha fatto accendere una lampadina sulla stranezza del testo. Per quanto riguarda l'integrale, non è che volevi scrivere integrale di i(t)?

Inoltre, come può q(t) essere una quantità cumulata se non è crescente? Una quantità cumulata me la immagino sempre crescente nel tempo

[gugo82]

@Palliit: Hai completamente ragione: quell'integrale lì non ha alcun senso... Però, se considerassimo $q(t)$ come qualcosa misurato in $C/(sm^2)$ (che roba sarebbe? Un flusso di qualche tipo? Perdonatemi, ma queste cose di elettromagnetismo non le ricordo proprio... Devo andarmele a rivedere con serietà) cambierebbe qualcosa?

In effetti, il mio problema è uguale a quello di Nikikinki... Leggendo il testo avrei proposto interpretazioni "strane".

[Palliit]

Per quanto riguarda l'integrale, non è che volevi scrivere integrale di i(t)?

L'integrale è di$" "dot q(t)=(dq)/dt=i(t)$.