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Ho sempre saputo(da quando studio fisica) che la forza gravitazionale è conservativa, ma non è mai stato spiegato il perchè nei libri. Esiste una dimostrazione di questo?

Certamente, e' un campo di forze centrali, che dipende unicamente dalla distanza radiale.

Cosa significa che è un campo di forze centrali e quindi perchè dipende dalla distanza radiale?

Ci sono dei teoremi e delle discussioni anche qui.
Uno, vuol dire che la circuitazione e' nulla.
Ovvero il lavoro compiuto dalle forze lungo un cammino chiuso e' nullo.
Questo si vede chiaramente nel percorso ascendente e discendente che e' simmetrico. La rimanente parte della curva ha la forza perpendicolare al moto, ed e' quindi nullo il lavoro.
Inoltre se il campo dipende solo da la distanza radiale, allora esiste certamente un potenziale.
Se poi il tuo campo è semplicemente connesso, cioè non ha buchi dove non sai cosa succede, allora anche il rotore e' nullo, cioè vale che se e' conservativo ha rotore nullo, e se ha rotore nullo è conservativo.
Quindi se è conservativo l'energia si conserva, e ti puoi ricavare facilmente tutto, a parte il tempo, usando questo principio
Il tempo dovrai ricavartelo con la cinematica

Neanche un mese fa abbiamo discusso amabilmente su che cosa deve intendersi per campo di forze conservativo : Questo è il link :

viewtopic.php?f=19&t=197686#p8403722

Grazie per iol chiarimento e per il link!