Sfera carica non uniformemente

[cicciero]

Salve mi servirebbe una mano piuttosto urgentemente in vista di un esame martedì!
Non riesco a capire un esercizio.. se qualcuno riesce..
Una sfera di raggio R=1cm è carica con una densita di carica=xr
Determinare il valore di x sapendo che il potenziale al centro vale V=10V
Grazie anticipatamente

[raff5184]

scusa è proprio questa la traccia? non definisce altro, tipo chi sia x, cos'è r? Perché detto così mi pare che ti venga chiesto di calcolare una densità di carica di una sfera di raggio 1 di cui conosci il potenziale al centro. Non mi pare ci siano dati a sufficienza

[cicciero]

uhm sai che lascia perplesso anche me? era un testo proprio di esame questo!
all'inizio stavo per risponderti che era non uniformemente carica e quindi che dipende dal raggio la carica della sfera.... ma effettivamente la densità di carica definisce la densità in tutta la sfera... insomma sono confuso!! anche perchè la r della densità è minuscola mentre la R del raggio della sfera è maiuscola.. insomma se qualcuno sa dirmi qualcosa

[elgiovo]

Se $rho_r=xr$, la densità di carica varia linearmente allontanandosi dal centro della sfera.
Dunque questa è costante su dei gusci sferici concentrici. Per determinare il volume dei
gusci, si può ragionare in due modi: immaginando di "stendere" un guscio di area $4pir^2$
e di dargli uno spessore $dr$ si ottiene un $d tau=4pir^2dr$. Più rigorosamente, si può sottrarre
al volume di una sfera di raggio $r$ quello di una sfera di raggio $r-dr$, ottenendo così
$d tau=4/3pir^3-4/3pi(r-dr)^3=4/3 pi d^3r-4pird^2r+4pi r^2dr$. Ignorando gli infinitesimi di ordine
superiore al primo, il risultato è lo stesso: $d tau=4pi r^2 dr$. Quindi $rho_r=(dQ)/(d tau)=(dQ)/(4pi r^2 dr)=xr$,
da cui $dQ=4pixr^3dr$. Allora la carica contenuta in una sfera di raggio $r<R$ è $Q_r=4pix int_0^r r'^3dr' $.
Siccome il campo $E_r$ sarà costante sui suddetti gusci sferici, si può scrivere (teorema di Gauss)
$E_r 4pir^2=(4pix )/varepsilon_0int_0^r r'^3dr'=(pi x r^4)/varepsilon_0$, da cui $E_r=(xr^2)/(4varepsilon_0)$. Ora il caso $r>R$: per lo stesso ragionamento,
la carica totale contenuta nella sfera è $Q=4pix int_0^R r^3dr=(pixR^4)/varepsilon_0$, ed $E_r=(xR^4)/(4varepsilon_0r^2)$.
(a riprova di quanto detto, per $r=R$ il campo delle due espressioni coincide: $E_R=(xR^2)/(4varepsilon_0)$).
Poichè il potenziale di un punto $P$ (in questo caso il centro della sfera) si ottiene come $V(P)=int_P^oo vecEcdot dvecs$,
procediamo con l'integrazione. Ovviamente è necessario spezzare l'integrale in due: si ha
$V(O)=int_0^R (xr^2)/(4varepsilon_0)dr+int_R^oo(xR^4)/(4varepsilon_0r^2) dr =(R^3x)/(3varepsilon_0)$, da cui $x=(3epsilon_0V(O))/(R^3)$

[raff5184]

Un chiarimento:
r piccolo quindi è la distanza radiale dal centro della sfera,giusto? Ciò significa che al centro la distribuzione è nulla?

[elgiovo]

Si, al centro $rho=0$.

[cicciero]

Grazie per la risposta abbastanza chiara
vado a studiarci un po su!
ma .. elgiovo posso chiederti cosa sei? sei un prof. o semplicemente un appassionato? spiegazione degna di un prof

[elgiovo]

Ringrazio cicciero dell'apprezzamento, ma non sono un professore!