Ma anche profanamente....
Siamo tutti abbastanza profani in certi argomenti, a meno che uno non si decida ad affrontare il toro per le corna, prenda un bel libro, non troppo difficile, di relatività generale (ce ne sono a bizzeffe, anche in forma di dispense sul web), e con passione, calma ed umiltà si metta di buzzo buono a studiare la materia, a cominciare dal calcolo tensoriale, passando (ma senza bisogno di approfondire molto) attraverso le varietà differenziabili, le trasformazioni di coordinate, i coefficienti di connessione, la derivazione covariante, il trasporto parallelo secondo Levi-Civita, l'elemento lineare, la metrica, le geodetiche, la curvatura...fino ad arrivare al tensore di Riemann , alle sue contrazioni ( essenzialmente il tensore di Ricci) , alle equazioni di campo di Einstein, e (almeno!) alla soluzione di Schwarzschild , che è una soluzione a simmetria sferica, statica, per la geometria dello spaziotempo curvo al di fuori di una superficie sferica di raggio $r$, dove non c'è materia/energia e quindi il tensore di Ricci è nullo :
$R_(munu) =0 $
LA soluzione di Schwarzschild da' il $ds^2 = (cd\tau)^2$ in questo ST esterno alla sfera di raggio $r$. Non necessariamente il raggio di questo sfera è il raggio di Schwarzschild, cioè il raggio dell'orizzonte degli eventi (vedi dopo), anzi la metrica di Schwarzschild è utile anche all'esterno di un corpo celeste il cui raggio sia maggiore di $r_(Sch)$ , come ad es nello ST esterno al Sole, se si vuol trovare come questo è "deformato" dal Sole , e causa la deflessione dei raggi di luce provenienti da stelle lontane.
LA soluzione di Schwarzschild si trova naturalmente pure su Wikipedia , io preferisco la versione inglese "Schwarzschild solution" , o qualcosa di simile.
Senza stare a ricopiare formule , riassumo le caratteristiche principali di questo ST . Posto : $m = (GM)/c^2 $ , che prende il nome di "massa metrica" e non è altro che la massa $M$ racchiusa nella superficie sferica,
1espressa in unità di lunghezza( $m$ ha infatti le dimensioni di una lunghezza ), il raggio di Schwarzschild, che è il raggio dell'
orizzonte degli eventi , è dato da:
$ r_(sch) = 2m = (2GM)/c^2$
Il $ds^2 = (cd\tau)^2 $ è, a meno di $c$ , il "tempo proprio" di un osservatore che viaggia in questo ST ; se non è soggetto a impulsi, e quindi è abbandonato all'azione del campo gravitazionale, che può variare da punto a punto, percorre una geodetica di questo spaziotempo, di cui $ds$ è elemento lineare . Al secondo membro ci sono le variabili $(t, r, theta, phi) $ ( o meglio, i loro differenziali) , che sono le coordinate di un osservatore molto lontano dalla superficie sferica detta, laddove le modifiche dello ST si possono considerare nulle, quindi lo ST si può supporre ancora "asintoticamente piatto" , come è piatto lo ST di Minkowski della relatività ristretta. LA metrica di Sch. è diagonale, i coefficienti della metrica si leggono direttamente dall'espressione del $ds^2$.
Rispetto all'osservatore lontano, il "tempo proprio" segnato da un orologio che si avvicina all'orizzonte degli eventi appare rallentare , fino a fermarsi su questo orizzonte. Lo spazio invece si distorce, si "allunga" in direzione radiale, sicché la coordinata $r$
non è uguale alla distanza dal centro ! Ecco in dettaglio quello che succede :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ci sono altre caratteristiche del bn di Schwarzschild , che riguardano il moto di particelle, sia materiali che aventi massa nulla (fotoni), e si studiano a partire dalla metrica detta , scrivendo la lagrangiana e procedendo con le 4 equazioni delle geodetiche che se ne ricavano. Esse si riducono a tre , che traducono in formule , essenzialmente :
-La conservazione dell'energia
-la conservazione del momento angolare
-la conservazione della 4-velocità
Per esempio, è interessante studiare come si comportano le particelle ( sia dotate di massa che senza massa , cioè fotoni) che si muovono su geodetiche radiali ovvero su orbite circolari attorno al bn . Ma non insisto su questo , i procedimenti non sono affatto semplici . Metto dei link per chi fosse interessato a ulteriori informazioni :
https://arxiv.org/abs/0805.2082https://arxiv.org/pdf/astro-ph/9801252.pdf