Oscillazioni pendolo

[Keyzan]

Ciao a tutti ragazzi ho un problema con questo esercizio:
--Due pendoli di massa $m$ e $3m$ sono collegati tra loro mediante una molla di costante elastica $k$. Ricavare le frequenze
relative ai modi normali di oscillazione.

Ho provato scrivendo le equazioni differenziali relative allo spostamento del primo e del secondo pendolo trovando:
$ (d^2 psi_b )/(d t^2) =-g/lpsi_b -k/(3m)(psi_b-psi_a) $
$ (d^2 psi_a )/(d t^2) =-g/lpsi_a +k/(m)(psi_b-psi_a) $
Da qui però non riesco a dedurre le coordinate normali e quindi le frequenze angolari. Qualcuno potrebbe darmi un aiuto? Grazie in anticipo

[Nikikinki]

Perché non riporti anzitutto uno schizzo di come è la configurazione del sistema e come sei giunto a quel sistema? In genere non serve arrivare fino a quel punto per le piccole oscillazioni ma visto che hai calcolato le equazioni verifichiamo prima che non ci siano errori.

[Keyzan]

Ok provo a fare tutti i passaggi.

Di seguito riporto uno schizzo per descrivere la configurazione del sistema e le forze in gioco quando quando i pendoli sono in quiete e in moto:



Applico Newton al pendolo di sinistra e ottengo:
$ Ma = sumF $
Cioè la somma di tutte le forze agenti sul pendolo è uguale alla massa del pendolo stesso per l'accelerazione. A questo punto ricavo che:

--Lo spostamento sull'arco di circonferenza sotteso dall'angolo $psi_a$, per piccole oscillazioni, è $lpsi_a$;
--La velocità del pendolo su questo arco di circonferenza è $l(dpsi_a)/dt$;
--L'accelerazione del pendolo sull'arco di circonferenza è $l(d^2psi_a)/dt^2$;
--La forza di richiamo elastica agente sul pendolo è $ F_E= +kl(psi_b-psi_a) $;
--La componente parallela della forza di richiamo gravitazionale sul pendolo è $ F_G= Mgpsi_a $ (dove si è approssimato $ sen (psi_a) = psi_a $ e dove $M=m$ );

Quindi applicando Newton:
$ml(d^2psi_a)/dt^2 = +kl(psi_b-psi_a) -mgpsi_a$
Riordinando:
$(d^2psi_a)/dt^2 = +k/(m)(psi_b-psi_a) -g/lpsi_a$

Con un procedimento simile trovo l'equazione differenziale anche per la massa di destra. Quindi ottengo due equazioni differenziali che descrivono il sistema:

$(d^2psi_a)/dt^2 = +k/(m)(psi_b-psi_a) -g/lpsi_a$
$(d^2psi_b)/dt^2 = -k/(3m)(psi_b-psi_a) -g/lpsi_b$

Da qui però non so come trovarmi le frequenze angolari. Ho provato a sostituire nelle equazioni le oscillazioni armoniche:
$psi_a=Acos(omegat)$ e $psi_b=Bcos(omegat)$ per poi trovare il rapporto $A/B$ e porlo prima uguale a $1$ e poi a $-1$, ma in questo modo mi escono tre diverse frequenze angolari. Non so proprio come proseguire

[Nikikinki]

Ok bene, mi ero immaginato tutto un altro collegamento. Vediamo un po', direi che la nota dolente di questo problema è la massa differente appesa ai pendoli. Se fosse stata uguale si risolveva in modo più agevole perché era possibile disaccoppiare completamente le equazioni differenziali, cosa che ora ci riesce solo in parte ma direi che è sufficiente.
Anzitutto il ragionamento mi pare corretto, anche se alla fine stai trattando quegli angoli imponendo subito l'appossimazione di piccole oscillazioni quindi direi possiamo anche intenderli come spostamenti orizzontali. Ma giusto così, per forma. Vediamo la sostanza che è più importante. Intanto immaginiamo il sistema formato da due masse identiche. I modi normali non possono che essere due. O i pendoli oscillano in sincrono con la molla che non prende parte alla frequenza di oscillazione (perché sono entrambe le masse spostate un pochino, diciamo, a destra e lasciate libere di oscillare quindi come fosse un singolo pendolo) oppure le masse vengono allontanate (quindi estendendo la molla) e lasciate oscillare. Nel primo caso avremo una pulsazione propria del pendolo (la molla non conta niente) $\omega_1^2=g/l$ e nel secondo caso una cosa che sarà una sorta di somma della pulsazione libera e del contributo dato dalla molla diciamo $\omega_2$. In questo caso potremmo considerare i due casi separatamente e giungere ad equazioni differenziali semplici.

Se una massa è diversa dall'altra, per piccole oscillazioni, il primo modo dovremmo ritrovarlo poiché non dipende dalla massa. Il secondo pure lo ritroviamo in forma anche se il valore sarà differente.

Ora veniamo alle equazioni che hai calcolato. Il procedimento è corretto, solo non mi torna nella seconda equazioni quel $-k/(3m)$, mi sarei aspettato $+k/(3m)$ ma non ho fatto il conto, così ad occhio per simmetria. Comunque al di là del segno che magari puoi ricontrollare, ti consiglio in questi casi di fare un cambio di variabili e vedere se riesci a disaccoppiare almeno una delle equazioni.
Infatti se sommi e sottrai le equazioni troverai due eq differenziali nelle variabili diciamo $\alpha_1=\psi_a+\psi_b$ e $\alpha_2=\psi_a-\psi_b$. Il punto è che ora quella in $\alpha_2$ è disaccoppiata dall'altra quindi trovi che

$\ddot{\alpha_2}=-\alpha_2 \omega_2^2$ (a me viene, a meno di errori, $\omega_2^2=4/3k/m+g/l$ ma cambiando quel segno di prima te lo ritrovi qui) cioè la costante davanti alla funzione è la pulsazione di un modo normale, il "secondo tipo" che dicevamo. La soluzione è una roba oscillante e se la sostituisci nell'altra equazione trovi un moto armonico con una forzante cioè una cosa del tipo

$\ddot{\alpha_1}+g/l\alpha_1=Asin(\omega_2t+\phi)$ che ha senso perché la massa grande dovrebbe tendere a trascinare, almeno per un po', la massa piccola. Come vedi appare anche la pulsazione $\omega_1^2=g/l$ come atteso.

Insomma c'è un po' da pensare ma non mi pare di aver alterato il problema con questo ragionamento. Ovviamente se qualcuno ha altre idee più semplici o la pensa diversamente ben venga .

[Keyzan]

Sono riuscito anch'Io dopo un po' di tempo a trovare le coordinate normali e i risultati delle due frequenze combaciano. Grazie mille per l'aiuto!