Divergenza

[simi2799]

Salve a tutti, oggi ho iniziato il mio studio dell'elettromagnetismo. Prima però ho controllato le premesse matematiche necessarie e tra queste c'è la divergenza.
Il mio libro definisce la divergenza di un campo vettoriale A nel punto P che si trova dentro una superficie chiusa S in questo modo:

div A= $\lim_(Deltatau->0) int (vec A * d vec S) / (Deltatau)$

($Deltatau$ è il volume delimitato da S.

L'integrale è chiuso ovviamente e definito su tutto S.
Ora non ho capito qual è il senso fisico della divergenza, cos'è innanzitutto e a che serve, perchè il libro non lo dice. Poi cosa rappresenta l'integrale del prodotto scalare della formula e perchè per la definizione della divergenza il volume deve tendere a 0.
Scusate se in realtà non ho capito nulla ma il libro mi presenta davanti questa formula e basta. Preferisco, se c'è, una spiegazione meno sofisticata possibile, in quanto probabilmente la studierò in matematica in futuro ma per ora mi serve solamente per capire qualche concetto di elettromagnetismo. Grazie.

[mgrau]

Il senso fisico è la misura del fatto che nel campo ci siano "sorgenti" o "pozzi". Chiaramente se il flusso attraverso una superficie chiusa è positivo, all'interno ci dev'essere una sorgente, o viceversa se negativo un pozzo. Per esempio, una carica elettrica positiva è una sorgente per il campo $vec E$, mentre il campo magnetico $vec B$ non ha sorgenti (le linee di campo sono chiuse). l volume viene fatto tendere a zero perchè la divergenza è un concetto puntuale e non globale.

[simi2799]

Quindi una divergenza positiva "allontana" le cariche attraverso la superficie, mentre una negativa le "attrae"? Comunque non ho capito il concetto del puntuale e del globale. In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.

[mgrau]

Quindi una divergenza positiva "allontana" le cariche attraverso la superficie, mentre una negativa le "attrae"? Comunque non ho capito il concetto del puntuale e del globale. In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.

No, non sono le cariche che si muovono, devi immaginarti le linee di campo che "fluiscono" da una sorgente a un pozzo (se ci sono), se non girano su sè stesse.
Un integrale è di per sè un concetto globale (per esempio, il flusso attraverso una superficie), mentre la divergenza è una funzione del punto: il far tendere il volume di integrazione a zero è un trucco per costringere l'integrale ad essere qualcosa di locale.
Il prodotto scalare è semplicemente dovuto alla definizione di flusso, in cui conta l'angolo fra la superficie e il campo vettoriale.

[Vidocq]

In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.

La divergenza di un campo rappresenta la densità delle linee di flusso del campo uscenti da un punto per unità di volume.
$\mathbf{A}\cdot \text{d}\mathbf{S}$ è il flusso infinitesimo. dS ha carattere vettoriale in quanto la superficie deve essere orientata (in alternativa puoi considerare dS come scalare e aggiungere nell'espressione il versore n che orienti la superficie).

$\frac{\mathbf{A}\cdot \text{d}\mathbf{S}}{\Delta \tau }$ è il flusso infinitesimo per unita' di volume.

La divergenza dunque ci fornisce una indicazione circa l'intensità della sorgente e linee di flusso.

[simi2799]

Scusa se magari vado un po' fuori dall'argomento (forse no). Come faccio a determinare il verso del vettore superficie infinitesimo. Forse dal verso di percorrenza delle linee del campo?

[mgrau]

Scusa se magari vado un po' fuori dall'argomento (forse no). Come faccio a determinare il verso del vettore superficie infinitesimo. Forse dal verso di percorrenza delle linee del campo?

Il verso è significativo solo quando si tratta di superfici chiuse, nel qual caso c'è una reale differenza fra il dentro e il fuori. Per una superficie aperta il verso lo scegli come vuoi.

[simi2799]

Quando la superficie e chiusa come faccio a determinarlo? Dal verso di percorrenza delle linee di campo?

[mgrau]

Quando la superficie e chiusa come faccio a determinarlo? Dal verso di percorrenza delle linee di campo?

Se orienti la superficie verso il fuori, e l'integrale risulta positivo, c'è un flusso netto uscente, una sorgente del campo, una divergenza positiva. Negli altri casi, di conseguenza, mutatis mutandis

[simi2799]

Grazie mille, mi siete siete stati davvero d'aiuto