Condensatore cilindrico

"Le due armature di un condensatore cilindrico hanno lunghezza l = 0.5 m e raggi R1 = 8 cm e R2 = 10 cm. Calcolare la capacità del condensatore. Il condensatore viene connesso ad una batteria di forza elettromotrice U = 12 V. Calcolare la carica sulle armature e l’energia immagazzinata nel condensatore."

Ho un paio di domande: se la forza elettromotrice è, per definizione, U = Va-Vb, quando calcolo la carica Q = CΔV = C(Vb-Va) devo scrivere Q = C(-U)? (e quindi cambiare il segno di U?)
Inoltre, trovata la carica Q sulla prima armatura (che seguendo questo ragionamento sarebbe negativa), posso automaticamente dire che la seconda armatura ha una carica -Q? (e quindi positiva?)
Infine, va bene utilizzare la formula E = (1/2)QΔV = (1/2)(|Q|)(|U|) (con Q = carica su un'unica armatura) per l'energia immagazzinata?

Ciao,
questo tipo di esercizio in genere serve a evidenziare come la capacità di un condensatore dipenda dalle sue caratteristiche geometriche.
Infatti, partendo dalla definizione
$C = Q/V$
Utilizzando il teorema di Gauss, considerando un generico cilindro di raggio $R_1<=r<=R_2$
si ha
$E * S = Q/(epsilon_0) \rightarrow E = Q\(S*epsilon_0) \rightarrow E = Q/(2pi*l*r*epsilon_0)$

Sappiamo che il campo elettrico è un campo conservativo e dunque ammette un potenziale, che dipende solo dalla distanza dei punti dove vogliamo calcolarne la differenza.Quindi

$deltaV = int_(R_1)^(R_2) E*dr $ dove una volta sostituita l'espressione del campo elettrico trovata precedentemente si ottiene
$deltaV = ( Q * ln(R_2/R_1) ) / ( 2pi*l*epsilon_0)$

Che sostituita nella espressione del condensatore ci dà
$C = (2pi*l*epsilon_0)/ln(R_2/R_1)$

Ora, dato che il condensatore nella seconda parte viene connesso a una differenza di potenziale $deltaV_1 = 12V$
si ha, utilizzando l'espressione trovata in precedenza che

$Q/(deltaV_1) = C = (2pi*l*epsilon_0)/ln(R_2/R_1)$

Quindi $Q = (2pi*l*epsilon_0 * deltaV_1)/ln(R_2/R_1)$

[Non ho fatto i conti visto che non ci sono i risultati, però dimensionalmente è giusto ]

Infine per l'energia, si sa che

$F = qE$
E che il lavoro è $L = int F * dr = int qE*dr = int q*dV$ utilizzando la relazione tra capacità, carica e ddp

$dV = C*dQ$

Quindi $L = int (q/C)*dQ$
a carica completa si ha che $L = 1/2 * (Q^2)/C$
Sapendo che per compiere quel lavoro il sistema ha speso la stessa quantità di energia, che è stata acquisita dal condensatore si ha che $L = U$ dove $U$ è l'energia interna.


Spero di non aver fatto grossi errori

$ E⋅S=Q/ε0→E=Q/(S⋅ε0)→E=Q2/(π⋅l⋅r⋅ε0) $

Quindi il campo dipende da r? Non dovrebbe essere uniforme?

Beh no
Se non dico grosse cavolate, la carica di un conduttore si dispone tutta sulla sua superficie esterna, quindi all'interno del condensatore cilindrico è come se fosse in un certo senso tutta disposta sull'asse principale del cilindro più interno.
Quindi, all'interno del condensatore il campo elettrico dipende dalla distanza che ha dal cilindro interno essendo l'unica cosa a generare un campo elettrico