Ciao,
questo tipo di esercizio in genere serve a evidenziare come la capacità di un condensatore dipenda dalle sue caratteristiche geometriche.
Infatti, partendo dalla definizione
$C = Q/V$
Utilizzando il teorema di Gauss, considerando un generico cilindro di raggio $R_1<=r<=R_2$
si ha
$E * S = Q/(epsilon_0) \rightarrow E = Q\(S*epsilon_0) \rightarrow E = Q/(2pi*l*r*epsilon_0)$
Sappiamo che il campo elettrico è un campo conservativo e dunque ammette un potenziale, che dipende solo dalla distanza dei punti dove vogliamo calcolarne la differenza.Quindi
$deltaV = int_(R_1)^(R_2) E*dr $ dove una volta sostituita l'espressione del campo elettrico trovata precedentemente si ottiene
$deltaV = ( Q * ln(R_2/R_1) ) / ( 2pi*l*epsilon_0)$
Che sostituita nella espressione del condensatore ci dà
$C = (2pi*l*epsilon_0)/ln(R_2/R_1)$
Ora, dato che il condensatore nella seconda parte viene connesso a una differenza di potenziale $deltaV_1 = 12V$
si ha, utilizzando l'espressione trovata in precedenza che
$Q/(deltaV_1) = C = (2pi*l*epsilon_0)/ln(R_2/R_1)$
Quindi $Q = (2pi*l*epsilon_0 * deltaV_1)/ln(R_2/R_1)$
[Non ho fatto i conti visto che non ci sono i risultati, però dimensionalmente è giusto ]
Infine per l'energia, si sa che
$F = qE$
E che il lavoro è $L = int F * dr = int qE*dr = int q*dV$ utilizzando la relazione tra capacità, carica e ddp
$dV = C*dQ$
Quindi $L = int (q/C)*dQ$
a carica completa si ha che $L = 1/2 * (Q^2)/C$
Sapendo che per compiere quel lavoro il sistema ha speso la stessa quantità di energia, che è stata acquisita dal condensatore si ha che $L = U$ dove $U$ è l'energia interna.
Spero di non aver fatto grossi errori