Onde e oscillazioni

[Keyzan]

Ciao a tutti, propongo un esercizio abbastanza problematico:

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La velocità di fase di un'onda di superficie su un liquido di tensione superficiale $T $ densità $ rho $ è:
$ v_varphi = (g/k +kT/rho )^(1/2) $
dove $k$ è il numero d'onda, $g$ l'accelerazione di gravità. Qual è la velocità di gruppo quando $ v_varphi$ ha il suo valore minimo in funzione della lunghezza d'onda? (calcolarla per $rho= 998 (kg)/m^3$ e $T= 0,0727N/m$ (acqua) e calcolare la $ lambda $ corrispondente)
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A questo punto ho pensato di derivare la velocità di fase rispetto a lambda (dove $k=(2pi)/(lambda)$ ). Quindi ho trovato:
$ (dv_varphi)/(dlambda) = 1/2((glambda)/(2pi)+(2piT)/(lambdarho))^(-1/2)(g/(2pi)-(2piT)/(lambda^2rho)) $
Studiando la derivata ho ottenuto un minimo per:
$ lambda=sqrt((4pi^2T)/(grho)) $
Adesso considero che nel caso di un'onda non-dispersiva si ha che:
$ omega= v_varphi k $
$ v_g=(domega)/(dk)= v_varphi + k(dv_varphi )/(dk) $
Quindi la velocità di gruppo e di fase sono uguali solo se $(dv_varphi )/(dk) =0$
Ho che: $(dv_varphi )/(dk) =1/2(g/k+(kT)/(rho))^(-1/2)(-g/(k^2)+T/rho)$
Nel punto in cui la velocità di fase assume un minimo ho che $k=(2pi)/(lambda)=(2pi)/(sqrt((4pi^2T)/(grho)))$
dove sostituendo trovo che $(dv_varphi )/(dk)=0$
Di conseguenza nel punto di minimo trovato la velocità di gruppo è uguale alla velocità di fase:
$ v_g=v_varphi = (g/k +kT/rho )^(1/2) $ nel punto di minimo $k=(2pi)/(sqrt((4pi^2T)/(grho)))$
Sostituisco il punto nell'espressione della velocità di gruppo e ottengo:
$ v_g= (gsqrt((4pi^2T)/(grho))/(2pi)+((2pi)/(sqrt((4pi^2T)/(grho))))T/rho)^(1/2)$
Dove sostituendo i valori numerici ottengo $v_g=0,33 m/s$
Per $lambda $ invece ottengo: $ lambda=sqrt((4pi^2T)/(grho)) = 0,063 m$

Secondo voi il ragionamento è giusto o ci sono errori? Ho provato a risolverlo un po' ad intuito e non sono sicuro del risultato. Grazie in anticipo!

[Nikikinki]

Il procedimento è corretto. Inoltre dato che sostituendo il minimo ti si annulla l'altra derivata direi è la dimostrazione migliore per verificare anche la correttezza del risultato, a meno di errori nella derivata ma non mi pare così ad occhio.