Asta con perno su piano verticale mantenuta orizzontale da una molla

Salve a tutti!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio di meccanica:
[img]

[/img]
Per quanto riguarda la prime due richieste non ho riscontrato difficoltà. La richiesta (c) tuttavia mi crea qualche problema. Per la determinazine infatti delle possibili altre posizioni di equilibrio dell'asta eseguirei lo studio del potenziale totale; tuttavia mentre il potenziale elastico risulta facilmente determinabile, non riesco a calcolare il potenziale della forza peso applicata nel centro di massa dell'asta. Vi chiedo quindi se sto sbagliando a voler studiare il potenziale totale e se conviene di conseguenza studiare le altre posizioni di equilibrio tramite le equazioni della risultante delle forze applicate nulla e il momento totale nullo. Spero di essere stato chiaro, vi ringrazio in anticipo per la pazienza!

non riesco a calcolare il potenziale della forza peso applicata nel centro di massa dell'asta.

Dove trovi la difficoltà? Se prendi come variabile l'angolo di rotazione $theta$ dell'asta rispetto all'orizzontale, la variazione di energia potenziale dell'asta è $mg * l/2 * sin theta$. Semmai è più complicata la variazione di energia della molla....

Ciao! Grazie per il suggerimento, alla fine ho ragionato così:

Indicando con \(\displaystyle \theta \) l'angolo di rotazione dell'asta rispetto all'orizzontale si ottiene come energia potenziale gravitazionale:
\(\displaystyle U_{p} = Mgh = Mg{ L \over 2} \sin(\theta) \)
Rimane quindi da determinare l'energia potenziale elastica. Osserviamo che la distanza OB è pari ad L, ossia la lunghezza dell'asta, di conseguenza possiamo affermare che durante la rotazione dell'asta il punto A si muove su una traiettoria circolare di centro O e raggio L; inoltre si osserva che, essendo B, punto di attacco della molla, posizionato su tale circonferenza, la dilatazione della molla durante la rotazione dell'asta sarà equivalente alla lunghezza della corda sottesa all'arco di circonferenza AB, quindi:
\(\displaystyle AB = 2L \sin({{\pi \over 2} - \theta \over 2}) \)
Tramite le formule di biserzione e degli archi associati si ottiene:
\(\displaystyle AB = \Delta l = 2L \sin({{\pi \over 2} - \theta \over 2}) = 2L \sqrt{{(1 - \cos({\pi \over 2} -\theta)\over 2}} = {L\over 2} \sqrt{1 - \cos({\pi \over 2}-\theta)} = {L \over 2} \sqrt{1-\sin(\theta)} \)
Siamo ora in grado di scrivere l'energia potenziale elastica in funzione di \(\displaystyle \theta \):
\(\displaystyle U_{e} = {k \over 2}({L^{2} \over 4} (1 -\sin(\theta))) \)
Scriviamo dunque l'energia potenziale totale del sistema data da:
\(\displaystyle U_{tot} = {k \over 8} L^{2} (1 -\sin(\theta)) + Mg {L \over 2} \sin(\theta) \)
Derivando \(\displaystyle U_{tot} \) rispetto a \(\displaystyle \theta \) e ponendolo uguale a zero si ottengono le posizioni di equilibrio; tramite lo studio della derivata seconda siamo in grado poi di chiarirne la stabilità o meno. Ditemi se sto sbagliando qualcosa.
Ancora grazie infinite!

Mi pare ci sia un errore nella energia potenziale della molla che dovrebbe essere $kL^2(1-sintheta)$.
In questi esercizi, dal momento che cerchi la lunghezza della molla al quadrato, ti conviene sempre prendere come angolo quello fra i 2 estremi della molla (nel tuo caso, l'angolo fra parete e asta).

Applichi il teorema di Carnot a quel triangolo e ottieni immediatamente $delta^2=L^2+L^2-2L^2costheta$, da cui l'energia potenziale della molla

$E=1/2kdelta^2=1/2k(L^2+L^2-2L^2costheta)=kL^2(1-costheta)$.

Ovviamente ora devi adattare l'energia potenziale del peso che non e' piu' nella forma che hai scritto tu.

Ciao! Grazie anche a te per la risposta! Ti chiedo se come ho ragionato io è completamente sbagliato o se c'è qualcosa di corretto. Riguardo poi all'energia potenziale del peso non vedo dove sia l'errore nell'esprimerla rispetto a \(\displaystyle \theta \) come ho fatto e ha suggerito mgrau

Il ragionamento e' corretto in linea di principio.
Esprimere l'Energia potenziale in funzione dell'angolo che la sbarra forma con l'orizzontale non e' un errore. E solo meno furbo. Se usi l'angolo con la parete, la lunghezza al quadrato della molla ti viene senza usare prostaferesi, archi associati etc etc. Basta il teorema di Carnot (mi pare si chiami cosi).
A prescindere dalla sveltezza del metodo, l'Ep usando l'angolo con l'orizzontale e' $kL^2(1-sintheta)$ e non $[kL^2]/8(1-sintheta)$ come viene a te

Ti ringrazio davvero! Forse ho trovato l'errore:
\(\displaystyle AB^{2} = \Delta l ^{2} = 4L^{2} \sin^{2}({\pi \over 2} -\theta) \)
quindi:
\(\displaystyle \Delta l^{2} = 4L^{2} ({(1- \cos({\pi \over 2} -\theta) \over 2}) = 2L^{2} (1-\sin(\theta)) \)
infine l'energia potenziale elastica è:
\(\displaystyle U_{e} = kL^{2}(1-\sin(\theta)) \)

Grazie ancora per il suggerimento sull'utilizzo del teorema di Carnot che non mi era proprio venuto in mente!