Problema con motore elettrico

[ZfreS]

La forza è applicata ai raggi e dobbiamo calcolare il momento rispetto ai raggi, giusto?

[RenzoDF]

No, ad ogni modo, per farla breve, il momento lo calcoli rispetto al centro, le forze le applichi nel punto medio di ogni raggio, normali allo stesso.

[ZfreS]

Ma la formula del momento è $M=Fxxb$

[professorkappa]

Santo cielo, sono 4 forze applicate a meta raggio, che tendono a far ruotare il disco in senso antiorario con momento 4FR/2.
Il valore di ogni forza e' proporzionale al prodotto tra B e corrente, e affinche ruotino in senso a.o. la corrente deve fluire verso il mozzo.
Il momento 4FR/2 deve eguagliaere il momento mgR della massa sul disco.

Un minimo di sforzo, te lo hanno scritto in 12 messaggi!!!!

[ZfreS]

Riprendo questo problema che avevo lasciato in sospeso. Ho capito che la corrente scorre dalla periferia al centro della ruota, e che la forza va considerata applicata nel centro di massa di ogni raggio per tutti e 4 i raggi. Quello che non capisco è il giro che fa la corrente, in che ordine entra nei raggi.

[RenzoDF]

Non c’è nessun “ordine”, entra continuamente su tutti e quattro; il “giro” che fa per percorrere il cerchione a partire dal contatto strisciante non ci interessa, lasciamo che ci pensi lei a trovare la strada migliore.

[ZfreS]

Certo, non è rilevante ai fini del problema, era una semplice curiosità.

[ZfreS]

Non ho capito però perchè la corrente deve andare dalla periferia verso l'asse affinchè la rutota giri in senso antiorario. Non capisco in particolare l'orientamento della forza $F=BiR$. E non ho capito perchè il momento della forza peso si consideri solo su una raggio e non sulle metà di tutti e 4.

[RenzoDF]

Certo, non è rilevante ai fini del problema, era una semplice curiosità.

La mia era solo una battuta, ma hai ragione, cercare di capire come quella corrente "giri" per entrare dal cerchione all'asse della ruota, è davvero più che interessante

Visto che il testo afferma che la resistenza è concentrata nei raggi, mentre è "trascurabile" nel resto del conduttore, possiamo affrontare il problema riducendo drasticamente il grado di complessità, andando ad considerarla (come di certo l'estensore del problema intendeva) nulla; in questo caso avremo che:

a) se il contatto si trova esattamente in corrispondenza di uno dei raggi, la corrente I andrà a partirsi in una I/4 direttamente entrante nel raggio stesso mentre due correnti pari a 3I/8 andranno ad scorrere nel cerchione sia verso destra che verso sinistra.

b) se il contatto si trova in una posizione intermedia fra i punti di collegamento dei raggi al cerchione, la corrente si andrà a dividere in due parti uguali a I/2 nelle due direzioni.

Se però non ci accontentiamo di questa approssimazione estrema, e supponiamo invece che quel problema intenda che la resistenza del cerchione è piccola rispetto a R ma non nulla, il discorso per il precedente caso b) si complica, in quanto dovremo considerare che non esiste più una simmetria fra i due versi.
Indicando con $r$ la resistenza di un quarto di cerchione e con $0\ltk\lt1$ la frazione della stessa inserita a sinistra del contatto strisciante¹, potremo in questo caso considerare il seguente circuito equivalente

fig.1

Creato con FidoCadJ | Visualizza codice

circuito che, grazie a semplificazione conseguenti alla relazione d'ordine \(r \ll R\), porterà essere considerato equivalente al seguente

fig.2

Creato con FidoCadJ | Visualizza codice

che permetterà di ottenere il rapporto fra le correnti nei due versi grazie ad un semplice partitore di corrente

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{5-2k}{3+2k}$

relazione che unita alla KCL

$I=I_1+I_2$

ci permetterà di ricavare $I_1(\theta)$ e $I_2(\theta)$.

$I_1=I/2(5/4-\theta/\pi)$

$I_2=I/2(3/4-\theta/\pi)$

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Note

1. Angolarmente avremo che \(k=\theta/(\pi/2)\). ↑

[ZfreS]

Grazie Renzo per questa analisi dettagliata, davvero interessante come un problema del genere nasconda questo.
Potresti gentilmente chiarirmi anche i dubbi della domanda nel post precedente? Grazie tante!