Piano inclinato a contatto con uno scalino con carrucola e masse

[Cosmoi]

Salve a tutti! Posto intanto qua sotto il testo del problema
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Volevo chiedervi delucidazioni sull'ultima richiesta dell'esercizio: chiede infatti di determinare le reazioni vincolari del piano orizzontale e verticale nella condizione in cui sia presente l'attrito tra le masse \(\displaystyle m_{1} \),\(\displaystyle m_{2} \) ed \(\displaystyle M \). Nella richiesta (b) inoltre veniva posta la medesima domanda nelle condizioni in cui l'attrito fosse presente esclusivamente tra \(\displaystyle m_{1} \) ed \(\displaystyle m_{2} \) e le masse si trovassero in quiete: la reazione del piano verticale in questo caso era nulla. Le differenze quindi rispetto all'analoga domanda precedente sono: la presenza di attrito tra \(\displaystyle M \) ed \(\displaystyle m_{2} \) ed il fatto che le masse siano in moto. Sappiamo che la reazione del piano orizzontale dovrà bilanciare sicuramente almeno la forza peso totale data da:
\(\displaystyle P_{tot} = (M+m_{1}+m_{2})g \)
Per quanto riguarda invece la reazione vincolare del piano verticale non riesco a vedere quale forza entri in gioco ad agire su di esso. In più tale forza, se presentasse una componente verticale, andrebbe a modificare il valore della reazione vincolare del piano orizzontale. Cosa non sto vedendo? Possibile che la forza che entri in gioco sia la forza di attrito dinamico esercita da \(\displaystyle m_{2} \) su \(\displaystyle M \) per il principio di azione e reazione?

[Shackle]

Possibile che la forza che entri in gioco sia la forza di attrito dinamico esercita da m2 su M per il principio di azione e reazione?

Proprio cosi. Il sistema delle tre masse non è un corpo rigido , ci sono delle parti in movimento , ed è proprio il loro moto a determinare la reazione orizzontale dello scalino e la reazione verticale del piano orizzontale, che non è uguale , in valore, solo al peso del sistema.
Ragioniamo. Sappiamo che $m_2>m_1 $ . Supponiamo che $m_2 $ scenda e $m_1 $ salga. La tensione nei due fili è la stessa, l’ accelerazione delle due masse è pure la stessa “ in modulo “.
Se togliamo lo scalino di Sn, e lasciamo andare le due masse mobili da una posizione di quiete, il loro CM si sposta verso il basso e verso destra, quindi il cuneo M si sposterebbe verso sinistra; ma ciò è impedito dallo scalino, che quindi esercita una forza orizzontale $ F_o $ verso Ds . Inoltre, la reazione verticale $F_v$ del piano orizzontale su M è, in modulo, maggiore della somma dei tre pesi, visto che il CM detto si sposta verso il basso.
Questi problemi si risolvono disegnando i diagrammi di corpo libero di ciascuna massa del sistema, e proiettando su opportune coppie di assi cartesiani. Sai farlo? Io li ho fatti , ma vorrei che cominciassi tu . Inizia da $m_1$ . Devi farne tre.
Un esempio di come devi procedere lo trovi qui .

[Cosmoi]

Ciao! Ti ringrazio per la risposta! In realtà avevo considerato fin da subito la presenza della forza d'attrito dinamico esercitata da \(\displaystyle m_{2} \) su \(\displaystyle M \) per il principio di azione e reazione; tuttavia, scendendo la massa \(\displaystyle m_{2} \) verso destra, il piano \(\displaystyle M \) esercita la forza d'attrito dinamico verso sinistra e quindi per il principio di azione e reazione \(\displaystyle M \) subisce una forza uguale e contraria diretta verso destra. Il mio dubbio era proprio qua: la reazione del piano verticale è quindi rappresentata dalla componente orizzontale della forza d'attrito dinamica esercitata da \(\displaystyle M \) su \(\displaystyle m_{2} \), la reazione del piano orizzontale invece è data, in modulo, dalla differenza tra la forza peso totale del sistema e la componente verticale della forza d'attrito dinamica esercita da \(\displaystyle M \) su \(\displaystyle m_{2} \): se così fosse vorrebbe dire dunque che stiamo considerando una forza di trascinamento diretta verso sinistra. Sto sbagliando?

[Shackle]

Vedo un po’ di dubbi. Ti ripeto: traccia i digrammi di corpo libero delle tre masse, sostituendo i vincoli con le reazioni vincolari. Messe le forze, ad es sulla $m_1$ che è la più facile, prendi un asse x parallelo al piano inclinato e un asse y ad esso perpendicolare. Proietta le forze sui due assi, e scrivi quello che succede: la $m_1$ si muove in direzione y ? No, quindi...Invece accelera verso l’alto in direzione x, quindi scrivi la 2^ equazione della dinamica $m_1a =....$.
Lo stesso lavoro devi fare per $m_2$ e per il cuneo M . Per quest’ultimo, ti conviene assumere X orizzontale e Y verticale. Tieni presente che in definitiva M è fermo, rileggi la prima risposta, e ti rendi conto perché.
Forza!

[Cosmoi]

Provo a spiegare meglio come procederei:

Considerando le 3 masse singolarmente si ha:
( per le masse \(\displaystyle m_{1} \) e \(\displaystyle m_{2} \) il sistema di riferimento avrà asse x parallela al piano inclinato e diretta verso il basso e asse y perpendicolare al piano inclinato e diretta verso l'alto)
\(\displaystyle m_{1} \)

\(\displaystyle -m_{1}\ddot{x} = -T + P_{1_{x}}+ F_{a_{d}}' \)
\(\displaystyle m_{1}\ddot{y} = 0 = N_{1}' - P_{1_{y}} \)

Quindi:
\(\displaystyle -m_{1}\ddot{x} = -T + m_{1}g\sin(\alpha) + \mu_{d} m_{1} g \cos(\alpha) \)
\(\displaystyle N_{1}' = m_{1}g\cos(\alpha) \)

\(\displaystyle m_{2} \)

\(\displaystyle
m_{2}\ddot{x} = -T - F_{a_{d}}' - F_{a_{d}} + P_{2_{x}} \)
\(\displaystyle m_{2} \ddot{y} = 0 = N_{2}' - P_{2_{y}} \)

Quindi:
\(\displaystyle m_{2} \ddot{x} = -T - \mu_{d} m_{1} g \cos(\alpha) - \mu_{d} m_{2} g \cos(\alpha) + m_{2} g \sin(\alpha) \)
\(\displaystyle N_{2}' = m_{2} g \cos(\alpha) \)

Se andiamo ora a considerare le equazioni del moto delle due masse lungo \(\displaystyle x \), ricavando dalla prima un'espressione della tensione \(\displaystyle T \) da sostituire poi nella seconda, si ottiene l'accelerazione delle due masse lungo il piano inclinato e di conseguenza la forza \(\displaystyle F_{t} \) che permette il moto delle due masse lungo \(\displaystyle M \), data da:

\(\displaystyle (m_{1} + m_{2}) \ddot{x} = F_{t} \)

Per il piano inclinato \(\displaystyle M \) si ha quindi:

\(\displaystyle N_{1} - P_{tot} + F_{t}'\sin(\alpha) = 0 \)
\(\displaystyle N_{2} - F_{t}'\cos(\alpha) =0 \)

dove con \(\displaystyle F_{t}' \) indichiamo la forza uguale e contraria ad \(\displaystyle F_{t} \) esercitata da \(\displaystyle M \) per il principio di azione e reazione, con \(\displaystyle N_{1} \) la reazione vincolare del piano orizzontale e con \(\displaystyle N_{2} \) quella del piano verticale.

Questa forza \(\displaystyle F_{t} \) avrà direzione parallela al piano inclinato e diretta verso il basso, di conseguenza il blocco \(\displaystyle M \) eserciterà, per il principio di azione e reazione, una forza uguale e contraria diretta quindi verso sinistra e verso l'alto, \(\displaystyle F_{t}' \); scomponendo questa forza rispetto ad un sistema di riferimento che abbia l'asse x parallela al piano orizzontale e l'asse y parallela al piano verticale, si ottengono le componenti orizzontale e verticale di tale forza. La componente orizzontale sarà uguale in modulo alla reazione vincolare esercitata dal piano verticale, mentre la forza peso totale delle 3 masse più la componente verticale di tale forza di trascinamento sarà, in modulo, la reazione vincolare esercitata dal piano orizzontale:

\(\displaystyle N_{1} = P_{tot} - F_{t}' \sin(\alpha) \)
\(\displaystyle N_{2} = F_{t_{x}}' = F_{t}' \cos(\alpha) \)

Sto sbagliando?

Ti ringrazio per l'aiuto e la pazienza!

[Shackle]

Scusa, ora sono fuori fino a stasera.A dopo!

[Shackle]

Ho giusto 5 minuiti , ho guardato troppo di corsa il tuo scritto . Allego copia di quello che ho fatto io, confronta :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Cosmoi]

Ciao! Sei stato gentilissimo a mandarmi la copia che avevi fatto, mi ha aiutato molto a capire. Ho trovato online un pdf in cui è presente lo stesso esercizio con i medesimi dati fisici e con le soluzioni numeriche, tuttavia se imponiamo il sistema che si ottiene con le equazioni di moto di tutte e le tre le masse (che otteniamo con le equazioni della copia) si ottengono valori per \(\displaystyle F_{o} \) e \(\displaystyle F_{v} \) diversi dai risultati riportati tra le soluzioni: \(\displaystyle F_{0} \) è infatti pari a 2,16 N e \(\displaystyle F_{v} \) è pari a 263 N. Se hai è un po' di tempo per guardare lo svolgimento che avevo postato mi aiuteresti molto a capire dove eventialmente avevo sbagliato. Grazie davvero per l'infinita pazienza!

[Shackle]

Ora ho un po' di tempo; vedo che cosa posso dire del tuo svolgimento. Mi accorgo, citando il tuo scritto, che conosci e usi Latex, e questo mi crea qualche difficoltà , perché io uso i dollari ...$ $ . Ma mi arrangio .

Provo a spiegare meglio come procederei:

Considerando le 3 masse singolarmente si ha:
( per le masse \(\displaystyle m_{1} \) e \(\displaystyle m_{2} \) il sistema di riferimento avrà asse x parallela al piano inclinato e diretta verso il basso e asse y perpendicolare al piano inclinato e diretta verso l'alto)
\(\displaystyle m_{1} \)

\(\displaystyle -m_{1}\ddot{x} = -T + P_{1_{x}}+ F_{a_{d}}' \)
\(\displaystyle m_{1}\ddot{y} = 0 = N_{1}' - P_{1_{y}} \)

Quindi:
\(\displaystyle -m_{1}\ddot{x} = -T + m_{1}g\sin(\alpha) + \mu_{d} m_{1} g \cos(\alpha) \)
\(\displaystyle N_{1}' = m_{1}g\cos(\alpha) \)

e queste non sono altro che le mie prime due equazioni col puntino, che ho messo sul disegno, riguardanti $m_1$, per cui, salvo i simboli, siamo d'accordo.

\(\displaystyle m_{2} \)

\(\displaystyle
m_{2}\ddot{x} = -T - F_{a_{d}}' - F_{a_{d}} + P_{2_{x}} \)
\(\displaystyle m_{2} \ddot{y} = 0 = N_{2}' - P_{2_{y}} \)

Quindi:
\(\displaystyle m_{2} \ddot{x} = -T - \mu_{d} m_{1} g \cos(\alpha) - \mu_{d} m_{2} g \cos(\alpha) + m_{2} g \sin(\alpha) \)
\(\displaystyle N_{2}' = m_{2} g \cos(\alpha) \)

Queste dovrebbero essere le due equazioni relative al moto di $m_2$ : fa' attenzione però , perchè la componente normale della reazione del piano inclinato su $m_2$ è, col mio simbolo $N_2$ :

$N_2 = (m_1+m_2)gcos\alpha $

perchè non c'è solo il peso di $m_2$ proiettato sull'asse $y$ , c'è anche il peso di $m_1$ ; non ne hai tenuto conto nella tua equazione. D'altronde , se guardi i vettori della seconda figura , ti accorgi che la forza normale sotto $m_2$, diretta verso sinistra e in basso , è costituita da due termini :

$ -m_1gcosalphahatj - m_2gcosalphahatj $

che sono i componenti dei pesi delle due masse lungo $y$, equilibrati da $N_2hatj$ .

non badare alla grandezza dei vettori , ho scritto che i moduli non sono in scala .

Io ho scritto cosí l'equazione del moto lungo $x$ per $m_2$ :

$m_2gsen\alpha -T -muN_1 -muN_2 = m_2a$

dove devi mettere: $muN_1= mu m_1gcosalpha$; e : $muN_2 = mu(m_1+m_2) gcosalpha $ . LA $mu m_1gcosalpha$ compare due volte, perchè la prima agisce sulla faccia superiore di $m_2$ ( per azione diretta di $m_1$ che è messa sopra $m_2$ ) e la seconda sulla faccia inferiore come addendo in $muN_2$ .

Forse le discrepanze che trovi sono dovute a questo. Prima di andare avanti, correggi questo errore.
Tra parentesi , ho trovato anch'io il file delle esercitazioni da cui hai preso questo problema , che è il n. 1.19 della raccolta (bella raccolta!) :

http://people.na.infn.it/~clarizia/eser ... _uni_B.pdf

e ho letto le soluzioni numeriche, che ritengo sbagliate. Io di solito fino ai numeri non arrivo, per me è importante la soluzione analitica. Il procedimento per il calcolo delle due forze agenti sul cuneo è insito nelle due ultime equazioni.

[Shackle]

E allora? Abbiamo 6 incognite : $T, a,N_1, N_2,F_v,F_o$ , e 6 equazioni. Procediamo?