da Dal » 13/06/2019, 20:44
Vorrei chiedervi aiuto per un problema di meccanica quantistica. Mi viene data l'Hamiltoniana $ H= p_0^2/(2M_0)+sum_(i = 1)^n (p_i^2/(2m)+V_((|x_i-x_0| )) ) $ associata a un sistema di n particelle di massa m e una particella (quella con indice zero) di massa M_0, con $ p_o $,$ p_i $ operatori impulso e $ x_o $,$ x_i $ operatori posizione. A questo punto mi viene chiesto di separare l'Hamiltoniana in n+1 Hamiltoniane commutanti; ora, io so di dover prendere come nuovi operatori posizione i due $ X_i=x_i-x_0 $ con $ i>0 $ e $ X_0=x_ (CM)=(M_0x_0+sum_(i = 1)^n (mx_i))/(nm+M_0)$, rispettivamente posizione relativa a $x_0$ e posizione del centro di massa. A questo punto provo anche a ottenere i rispettivi momenti coniugati, sapendo che, dovendo rispettare le regole di commutazione, essi si ottengono come $ (P_0,P_1,..., P_n)=(p_0,p_1,...,p_n)N $ , dove $ N $ è la matrice inversa della trasformazione delle coordinate, cioè $ N=M^(-1) $, con M matrice tale che $ ( (X_0),(X_1),(...), (X_n) ) =M( (x_0),(x_1),(...), (x_n) ) $ . Ora scrivo la trasformazione inversa dei momenti coniugati $ (p_0,p_1,...,p_n)=(P_0,P_1,..., P_n)M $, inoltre, volendoli scrivere come vettore colonna e non come vettore riga, li traspongo $ ( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) =M^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $. La parte dell'Hamiltoniana da trasformare è quasi esclusivamente l'energia cinetica, dato che per il potenziale un sostiyuzione è più che sufficiente $ V_((|x_i-x_0| ) ) =V_((X_i))$; per la parte cinetica, la riscrivo come $ T=( p_0,p_1,..., p_n)G( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) $ , dove G è una matrice diagonale che sulla diagonale ha l'inverso delle masse $ G= ( ( 1/M_0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1/m , 0 , 0 ),( 0 , 0 , ..., 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1/m ) ) $ . Tenendo conto che $ (p_0,p_1,...,p_n)=(P_0,P_1,..., P_n)M $, $ ( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) =M^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $ e $ T=( p_0,p_1,..., p_n)G( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) $, ottengo $ T=( P_0,P_1,..., P_n)MGM^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $. M ha la seguente forma, derivante dal fatto che è anche la matrice di trasformazione delle coordinate: $ M= ( ( M/(M)_(TOT) , m/(M)_(TOT) , ... , m/(M)_(TOT) ),( -1 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , ..., 0 ),( -1 , 0 , 0 , 1 ) ) $, con $ M_(TOT)=nm+M_0 $ . Anche dopo tutto questo lavoro mi vengono calcoli troppo complicati, so che l'Hamiltoniana finale deve avere la forma $ H= P_0^2/(2(M)_(TOT))+sum_(i = 1)^n (P_i^2/(2mu)+V_((|X_i| )) ) $, con $ mu= (mM)/(nM+m)$ massa ridotta, ma non riesco ad ottenerla. Qualcuno riesce a dirmi come ottenere questa forma dell'Hamiltoniana nelle nuove variabili (operatori)?
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Dal il 14/06/2019, 12:16, modificato 1 volta in totale.