Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 13/06/2019, 20:44

Vorrei chiedervi aiuto per un problema di meccanica quantistica. Mi viene data l'Hamiltoniana $ H= p_0^2/(2M_0)+sum_(i = 1)^n (p_i^2/(2m)+V_((|x_i-x_0| )) ) $ associata a un sistema di n particelle di massa m e una particella (quella con indice zero) di massa M_0, con $ p_o $,$ p_i $ operatori impulso e $ x_o $,$ x_i $ operatori posizione. A questo punto mi viene chiesto di separare l'Hamiltoniana in n+1 Hamiltoniane commutanti; ora, io so di dover prendere come nuovi operatori posizione i due $ X_i=x_i-x_0 $ con $ i>0 $ e $ X_0=x_ (CM)=(M_0x_0+sum_(i = 1)^n (mx_i))/(nm+M_0)$, rispettivamente posizione relativa a $x_0$ e posizione del centro di massa. A questo punto provo anche a ottenere i rispettivi momenti coniugati, sapendo che, dovendo rispettare le regole di commutazione, essi si ottengono come $ (P_0,P_1,..., P_n)=(p_0,p_1,...,p_n)N $ , dove $ N $ è la matrice inversa della trasformazione delle coordinate, cioè $ N=M^(-1) $, con M matrice tale che $ ( (X_0),(X_1),(...), (X_n) ) =M( (x_0),(x_1),(...), (x_n) ) $ . Ora scrivo la trasformazione inversa dei momenti coniugati $ (p_0,p_1,...,p_n)=(P_0,P_1,..., P_n)M $, inoltre, volendoli scrivere come vettore colonna e non come vettore riga, li traspongo $ ( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) =M^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $. La parte dell'Hamiltoniana da trasformare è quasi esclusivamente l'energia cinetica, dato che per il potenziale un sostiyuzione è più che sufficiente $ V_((|x_i-x_0| ) ) =V_((X_i))$; per la parte cinetica, la riscrivo come $ T=( p_0,p_1,..., p_n)G( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) $ , dove G è una matrice diagonale che sulla diagonale ha l'inverso delle masse $ G= ( ( 1/M_0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1/m , 0 , 0 ),( 0 , 0 , ..., 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1/m ) ) $ . Tenendo conto che $ (p_0,p_1,...,p_n)=(P_0,P_1,..., P_n)M $, $ ( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) =M^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $ e $ T=( p_0,p_1,..., p_n)G( (p_0),(p_1),(...), (p_n) ) $, ottengo $ T=( P_0,P_1,..., P_n)MGM^T( (P_0),(P_1),(...), (P_n) ) $. M ha la seguente forma, derivante dal fatto che è anche la matrice di trasformazione delle coordinate: $ M= ( ( M/(M)_(TOT) , m/(M)_(TOT) , ... , m/(M)_(TOT) ),( -1 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , ..., 0 ),( -1 , 0 , 0 , 1 ) ) $, con $ M_(TOT)=nm+M_0 $ . Anche dopo tutto questo lavoro mi vengono calcoli troppo complicati, so che l'Hamiltoniana finale deve avere la forma $ H= P_0^2/(2(M)_(TOT))+sum_(i = 1)^n (P_i^2/(2mu)+V_((|X_i| )) ) $, con $ mu= (mM)/(nM+m)$ massa ridotta, ma non riesco ad ottenerla. Qualcuno riesce a dirmi come ottenere questa forma dell'Hamiltoniana nelle nuove variabili (operatori)?
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Nikikinki » 14/06/2019, 07:54

Ma è una richiesta esplicita usare questa sorta di algoritmo matriciale, oppure basta una dimostrazione qualsiasi? Cioè il punto è che basta dimostrare quella rappresentazione per due particelle di massa diversa e poi estenderla al caso di più particelle.
In caso affermativo, sapresti farlo il calcolo dell'hamiltoniano nel cdm di due particelle?
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 14/06/2019, 10:20

Pe due particelle riuscirei, ho anche provato con questo metodo matriciale usando matrici 2x2 e funziona, ma per più di due proprio non riesco... quello che sto facendo è proprio cercare di estendere il calcolo con le due particelle di massa diversa a questo sistema di pù particelle, ma non funziona, il prodotto finale tra le tre matrici, $ MGM^T $ dovrebbe essere diagonale con il primo elemento pari a $ 1/M_(TOT) $ e gli altri pari a $ 1/mu $, a sto punto credo sia errato il cambio di variabili. Quello di cui sono certo è che devo per forza prendere come nuove posizioni le $ X_i=x_i-x_0 $ con i>0 per rendere i potenziali dipendenti da una sola variabile, così che commutino, per questo non posso usare la solita separazione centro di massa-moto rispetto al centro di massa. Forse potrei provare a cambiare la variabile posizione del centro di massa $ X_0 $
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Nikikinki » 14/06/2019, 12:34

Il cambio di variabili è corretto , quelle sono le coordinate del centro di massa. Se ti vene per due particelle diverse, concettualmente basta considerare che la stessa cosa la avrai per tutte le altre coppie e quindi passi alla sommatoria. Ovviamente il cambio di base puoi farlo anche con le matrici ma mi pare proprio un volersi punire da soli. L'impostazione mi pare corretta anche di questa via, sui calcoli lunghi purtroppo non so cosa consigliarti, è l'altra faccia della medaglia. In questo modo non serve pensare, il problema è cercare di non sbagliare i conti. Invece lasciando perdere la dimostrazione matriciale hai un percorso più breve ma dove devi introdurre tu la simmetria del sistema con tante particelle rispetto a quello a due. Quindi se vuoi seguire la tua via devi rimboccarti le maniche e fare attenzione ai conti, una somma sbagliata o una costante messa male e non ti tornerà nulla.
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 14/06/2019, 14:03

Più che altro ho provato ad usare un moltiplicatore online di matrici, usando un sistema di 3 particelle (in aggiunta a quella di indice 0) e ho ricontrollato più e più volte di aver inserito le matrici corrette, ma comunque non viene la giusta matrice prodotto. Comunque ora proverò a ragionare per coppie come mi hai consigliato, sembra effettivamente un metodo molto più rapido ed efficace, senza troppi conti.
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 14/06/2019, 22:47

Non funziona neanche se provo a prendere ciascuna coppia separata... Riscrivendo l'Hamiltoniana come $ H= sum_(i = 1)^n (p_0^2/(2nM_0)+p_i^2/(2m)+V_((|x_i-x_0| )) ) $ e poi uso per ciascuna coppia il cambiamento di opertori $ X_i=x_i-x_0 $ con $ i>0 $ e $ X_(0i)=x_ (CMi)=(M_0x_0+mx_i)/(m+nM_0) $, quindi $ P_(0i)=p_0+p_i $ e $ P_(i)=(Mp_i-mp_0 )/(m+nM)$ e l'Hamiltoniana nelle nuove variabili diventa $ H= sum_(i = 1)^n (P_0^2/(2(nM_0+m))+p_i^2/((2nMm)/(nM+m))+V_((|x_i-x_0| )) ) $ ma, per i diverso da j, $ [X_i,P_j]=[x_i,(Mp_j-mp_0)/(nM+m)]-[x_0,(Mp_j-mp_0)/(nM+m)]=ihm/(nM+m) $, cioè $ X_i,P_j $ non commutano, quindi non posso usare questa tecnica. Infatti se non commutano non posso scrivere le equazioni di Heisenberg per gli operatori posizione e impulso
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Nikikinki » 15/06/2019, 05:30

Le coppie che intendevo sono particella grande + particella iesima. Chiamo $M_0=m_0$ così che posso chiamare $m_0+m_i=M$ ; chiamo anche l'impulso delle particelle i nel sistema del laboratorio q, anziché p, giusto per non confonderci.

Considero l'hamiltoniana $H=p_0^2/(2m_0)+q_i^2/(2m_i)+U(r_0-r_i)$ quindi cambiando variabili con la posizione relativa e la posizione del dentro di massa ho che

$R=(r_0m_0+r_im_i)/M$ e $r=r_0-r_i$ . Ora dato che vorrei trasformare il problema a due corpi in un problema nel centro di massa e rispetto al centro di massa definisco una massa ridotta

$\mu=m_0m_i/(m_0+m_i)$ che moltiplicata per $r$ e derivando tutto nel tempo trovo

$\mu \dotr= p_i = m_i p_0 - m_0 q_i $.

Definendo la massa totale $M=m_0+m_i$ ho in modo analogo $M\dotR=P=p_0+q_i$

Ora, il potenziale diventa semplicemente $U(r)$ (ricordando che dentro ha sempre la $r_i$, non metto il pedice per non confonderci, dovrei chiamare la variabile relativa in una altro modo altrimenti, ad esempio $\rho_i=r_0-r_i$)

L'energia cinetica voglio scriverla come energia cinetica del centro di massa $P^2/(2M)$ più l'energia cinetica rispetto al centro di massa $p_i^2/(2\mu)$

Quindi se $P^2/(2M)+p_i^2/(2\mu)$ è pari a $p_0^2/(2m_0)+q_i^2/(2m_i)$ sono a posto, ma ovviamente lo è perché in forma non è cambiato nulla dal caso semplice di due particelle, ho solo messo degli indici che è un cambio puramente formale di variabili (rispetto appunto al caso di due particelle). Tanto per ho anche fatto il calcolo, ma è un po' fastidioso da riportare, ma è puramente algebra. Se non lo hai mai fatto, devi farlo almeno una volta per renderti conto di questo importante risultato. Scrivi quei due contributi cinetici, esprimi tutto in funzione delle variabili iniziali, li sommi e vedi che tornano le energie cinetiche iniziali. Se proprio non ti esce (sicuramente per delle sviste, come ho detto è algebra) mi armo di buona pazienza e lo trascrivo.

Ora dobbiamo solo osservare che per $n$ particelle iesime l'impulso del centro di massa diventa $P=p_0+q_1+q_2+...+q_n$
e la massa totale ovviamente diventa quella delle n+1 particelle.


e la massa ridotta , se aggiungo una particella uguale a $m_i$, diventerà $\barmu=(\mu m_i)/(mu+m_i)=(m_im_0)/(2m_0+m_i)$ (anche qui è algebra, prova).
Quindi per $n$ particelle, e questo punto togliamo pure il pedice tanto sono tutte uguali queste masse, otterremo una nuova $\mu=(mm_0)/(nm_0+m)$ .

Ora basta, sommo su tutte le n particelle ed ottengo

$H=P^2/(2M)+\sum (p_i^2/(2\mu)+U(\rho_i)) $


Preciso che il fatto che l'hamiltoniana sia quantistica non porta a nessuna novità. Questo è un conto classico, che funziona anche in ambito quantistico perché quegli operatori sono fisicamente le quantità di moto.
Nikikinki
 

Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 15/06/2019, 11:42

Per il calcolo con due particelle non c'è problema, l'ho eseguito un po' di volte per capire, quello che non capisco è la generalizzazione che fai, mi sembra che sia solo per "analogia". Cioè solo perchè voglio far uscire l'impulso totale del sistema di particelle $ P^2/(2M)$ allora lo sostituisco in quello del sistema di due particelle, inoltre poi eseguo una sommatoria sugli impulsi coniugati $ \sum p_i^2/(2\mu) $, ma non conosco nemmeno la forma di questi impulsi $ p_i $. Se mi dicessi che forma hanno questi impulsi $ p_i $ allora potrei verificare l'analogia, inserendo la forma dei nuovi momenti per capire se riesco a risalire all'Hamiltoniana iniziale, però messa così non riesco a capirne la logica... e scusami se ti sto tenendo in ballo troppo tempo
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Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Nikikinki » 15/06/2019, 12:00

Non ha importanza che forma hanno tu sei partito con una hamiltoniana le cui variabili sono quelle riferite a un sistema "del laboratorio" e vuoi spostarti nel centro di massa, cioè scrivere l'energia come somma dell'energia cinetica del centro di massa , energia cinetica rispetto al centro di massa e interazione potenziale delle particelle. E' una ipotesi che faccio e la devo dimostrare. Posto che mi dici che dimostrare questa ipotesi per due particelle non è un problema, poi basta solo generalizzare nel modo in cui ho detto. Cioè puoi anche scrivere direttamente l'ipotesi per n particelle e dimostrare quella, diventa solo più lungo portarsi dietro la sommatoria, ma alla fine non cambia nulla. Sarà comunque una somma di energie cinetiche con massa totale e massa ridotta opportuna nel modo in cui le ho calcolate prima. Non c'è niente dietro. Se vuoi a rigore puoi procedere per induzione. Prima dimostri che sia vero per due particelle, e abbiamo detto lo è. Poi ipotizzi sia vero per n particelle e vedi se lo è anche per n+1 . Ma mi sembra proprio un voler affermare l'ovvio; credo sia molto meglio eseguire dei passaggi rigorosi ma pensati piuttosto che scaricare tutto sulla matematica. :-) Pensaci un po' prima, secondo me ti sei convinto che sia qualcosa di complicato e non vedi quanto in realtà sia semplice.
Nikikinki
 

Re: Separazione hamiltoniana per problema a più corpi

Messaggioda Dal » 15/06/2019, 13:54

La forma delle $ p_i $ la devo conoscere, dato che mi serve sapere se commutano o meno con le nuove variabili posizione. Il problema è che quando trasformo gli impulsi non posso dimenticare che anche le posizioni cambiano, e questo si ripercuote sui potenziali. Dobbiamo ricordare che le trasformazioni degli operatori impulso e posizione non sono scorrelate, se trasformo un impulso o una posizione, la trasformazione sull'altro operatore è già determinata, quindi se trasformo le posizioni come $ X_i=x_i-x_0 $ e $ X_0=x_ (CM)=(M_0x_0+sum_(i = 1)^n (mx_i))/(nm+M_0) $, la trasformazione sugli impulsi non è più qualsiasi.
Se eseguo la trasformazione prima su due particelle, chiamiamole $ x_1, x_0 $ , ottengo$ X_1=x_1-x_0 $ e $ X_0=x_ (CM)=(M_0x_0+mx_1)/(m+M_0) $ e $ P_(0)=p_0+p_1 $ e $ P_(1)=(Mp_1-mp_0 )/(m+M) $, quindi l'Hamiltoniana diventa $ H= P_0^2/(2(M_0+m))+P_1^2/((2Mm)/(M+m))+V_((|X_1| )) $. Ora se aggiungo un' altra particella $ H= P_0^2/(2(M_0+m))+P_1^2/((2Mm)/(M+m))+V_((|X_1| )) +p_2^2/(2m)+V((|x_2-x_0|)) $, ma devo ricordare che $ x_0 $ ha già subito una trasformazione: in questa nuova hamiltoniana devo esprimere $ x_0 $ in funzione di $ X_0,X_1 $, quindi il potenziale aggiunto diventa $ V(|x_2-((m+M)X_0-mX_1)/(m+M)|) $, quindi abbiamo un Hamiltoniana ben diversa, data da $ H= P_0^2/(2(M_0+m))+P_1^2/((2Mm)/(M+m))+V_((|X_1| )) +p_2^2/(2m)+V(|x_2-((m+M)X_0-mX_1)/(m+M)|) $, e non posso ripetere lo stesso calcolo del caso di due particelle. Aggiungendo una particella tutto cambia, come posso estendere istantaneamente il calcolo per due particelle a questa?
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