[Fisica Matematica] Il teorema di Dirichelet

[Cantor99]

Salve ho un problema a capire la dimostrazione proposta dal mio libro del famoso teorema di Dirichelet. Vogliamo provare che

Per un sistema di solidi a vincoli bilateri, fissi e lisci, soggetti ad una sollecitazione attiva conservati, è di equilibrio stabile ogni posizione di massimo isolato del potenziale

Userò la definizione seguente (che non è la definizione iniziale ma è equivalente)

una posizione $P^{\star}$ sarà di equilibrio stabile in $[0,+\infty)$ se $\forall \varepsilon,\delta>0$ esistono $\delta_{0},\varepsilon_{0}>0$ tali che
\begin{equation}
\begin{cases}
|P(0)-P^{\star}|<\delta_{0}\\ \mathrm{T}(0)<\varepsilon_{0}
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
|P(t)-P^{\star}|<\delta\\ \mathrm{T}(t)<\varepsilon
\end{cases} \quad \forall t\ge 0
\end{equation}

La dimostrazione si articola così (la quoterò)

Detto $P^{\star}$ un massimo isolato del potenziale $U$ esso è ovviamente una posizione di equilibrio. Proviamo che esso è anche stabile. Supponiamo che $\delta>0$ sia tale che
\begin{equation}
U(P^{\star})-U(P)>0 \qquad \forall P\in I_{\delta}(P^{\star})\backslash\{P^{\star}\}
\end{equation}
dove $I_{\delta}(P^{\star})\backslash\{P^{\star}\}$ è l'intorno bucato di centro $P^{\star}$ e raggio $\delta$

Perché posso fare quella supposizione su $\delta$?

Ora si può considerare
\begin{equation}
\mu=\min_{P\in I_{\delta}(P^{\star})\backslash\{P^{\star}\}}[U(P^{\star}-U(P)]
\end{equation}
che sarà non nullo. Possiamo anche scegliere $\varepsilon_{0}$ tale che
\begin{equation}
2\varepsilon_{0}<\min(\mu,\varepsilon)
\end{equation}
e $\delta_{0}$ di modo che se $P\in I_{\delta_{0}}(P_{0})$ si abbia
\begin{equation}
U(P)-U(P_{0})<\varepsilon_{0}
\end{equation}
Tenendo presente le condizioni iniziali della (1) e sfruttando la conservazione dell'energia meccanica si ha
\begin{equation}
T+(U^{\star}-U_{0})=T_{0}+(U^{\star}-U_{0})<\varepsilon_{0}+\varepsilon_{0}=2\varepsilon_{0}
\end{equation}
Da questo si conclude che
\begin{equation}
T<T+(U^{\star}-U)<2\varepsilon_{0}<\varepsilon
\end{equation}
Il che prova la seconda della (1). Per quanto riguarda la prima, dal fatto che
\begin{equation}
U^{\star}-U<T+(U^{\star}-U)=<2\varepsilon_{0}<\mu
\end{equation}
si ha che $P$, inizialmente interno a $I_{\delta_{0}}(P_{0})$ si mantiene interno a $I_{\delta_{0}}(P_{0})$, cioè verificata $|P(t)-P^{\star}|<\delta$ $\forall t\ge0$

Qui proprio non capisco come dalla (8) esca la (1)... cosa intende?

Ps: online trovo dimostrazioni completamente diverse. Sarà perché il libro è vecchiotto?

[Nikikinki]

Non mi esce di inserire l'asterisco in forma decente, uso $P^+$ al suo posto.

Perché posso fare quella supposizione su $\delta$?

Se $P^+$ è un punto di massimo isolato, significa che se non mi sposto molto da esso (quindi in un intorno bucato con centro in quel punto e raggio piccolo) la funzione in qualunque punto lì vicino sarà sicuramente di valore minore di quello che assume in quel massimo, da cui l'ipotesi fatta. Ti faccio notare che l'intorno deve essere bucato altrimenti potrei prendere $P^+=P$ e la differenza dei valori della funzione sarebbe nulla, non strettamente maggiore di 0

Qui proprio non capisco come dalla (8) esca la (1)... cosa intende?

Qui secondo me a rigore quando dice "si ha che P inizialmente interno a $I_(\delta_0)(P_0)$ si mantiene interno a $I_(\delta_0)(P_0) $ non è corretto, l'intorno finale dovrebbe essere quello bucato di centro $P^+$ poiché $\mu$ è preso su quell'insieme.
Ovvero se la differenza tra la funzione nel massimo isolato e la funzione in un punto vicino è minore di $\mu$ , che è assunto per un $P$ dentro l'intorno bucato che dicevo, significa che $P$ partiva nell'intorno $I_(\delta_0)(P_0)$ e non uscirà dall'intorno bucato di centro $P^+$ che poi è quello che si voleva dimostrare.

[Cantor99]

Grazie per le risposte. Stranamente queste cose mi convincono fisicamente ma non matematicamente

1) Quello che dico io è : è implicito nell'enunciato che, detto $\delta'$ l'estremo superiore fra i $\delta$ per cui $P^{\star}$ è massimo isolato in $I_{\delta}(P^{\star})$, ogni scelta di $\delta''>\delta'$ mi porterebbe ad un'ovvietà? Questo perchè?
2) Mi trovo con le correzioni e anche col significato fisico ma ... da dove nasce matematimamente quell'implicazione?

Ps l'asterisco lo scrivo così :
P^{\star}

[Nikikinki]

In realtà la fisica la puoi anche dimenticare in questo caso, è una dimostrazione puramente analitica. Non so bene come convincerti di più perché la dimostrazione che hai ricopiato contiene tutti i passaggi matematici necessari non è stato aggirato nulla, quindi riscriverei lo stesso calcolo. Prova a rileggerti quello che ho detto seguendo passo passo la dimostrazione.

Ad ogni modo

1) Non ho capito che vuoi dire, o meglio la finalità. Se prendi la delta troppo grande potresti incontrare altri massimi e quindi invalidare l'ipotesi. E' come per la definizione di limite. Ipotizzi che esista un delta per il quale quella cosa è vera. Lo è? Sì, perché $P^{\star}$ è massimo locale (isolato) e per definizione è il punto nel cui intorno il valore della funzione è massimo quindi quella differenza deve essere per forza positiva.

2)Come ho detto, rileggi quello che ho scritto osservando la dimostrazione.
$U(P^{\star})-U(P)<\mu$ dove $\mu$ è il minimo di quella differenza all'interno dell'intorno bucato di $P^{\star}$ e raggio $\delta$ implica, anzi è proprio, che $|P(t)-P^{\star}|<\delta$ .