esercizio matrici di Pauli

[Andrea-.-'']

Buongiorno,
Non sono sicuro del procedimento che ho seguito in questo esercizio , spero possiate aiutarmi
Ecco come ho fatto io:
Per prima cosa riscrivo $V$ in una forma che mi pare più comoda:
$V=a_1sigma_z^(1)+a_2sigma_z^(2)+bsigma_z^(1)sigma_z^(2)+b(sigma_x^(1)sigma_x^(2)+sigma_y^(1)sigma_y^(2))$

Prendo come base quella composta dalle "combinazioni" di $chi_(pm)^(1)$ con $chi_(pm)^(2)$
Allora:
$V|chi_(pm)^(1)*chi_(pm)^(2)> = [\pm(a_1+a_2)+b]|chi_(pm)^(1)*chi_(pm)^(2)>$ quindi dovrei aver già trovato 2 autovalori e due autovettori

$V|chi_(+)^(1)*chi_(-)^(2)> = [(a_1-a_2)-b]|chi_(+)^(1)*chi_(-)^(2)>+2b|chi_(-)^(1)*chi_(+)^(2)>$
$V|chi_(-)^(1)*chi_(+)^(2)> = 2b|chi_(+)^(1)*chi_(-)^(2)> +[(a_2-a_1)-b]|chi_(-)^(1)*chi_(+)^(2)>$
costruendo la matrice :




vedo che è diagonalizzabile a blocchi con un blocco 2x2 e quindi per quanto riguarda tale blocco posso studiarne a parte il determinante ottenendo:
$lambda_(1,2)=-b\pm sqrt((a_1-a_2)^2-4b^2)$
ora, sempre lavorando col blocco 2x2:
$ ( ( [(a_1-a_2)-b]-lambda_(1,2) , 2b ),( 2b , [(a_2-a_1)-b]-lambda_(1,2) ) ) $
$ ( ( -[(a_2-a_1)\pmsqrt((a_1-a_2)^2-4b^2)] , 2b ),( 2b , -[-(a_2-a_1)pmsqrt((a_1-a_2)^2-4b^2)] ) ) $

$ ( ( -[(a_2-a_1)\pmsqrt((a_1-a_2)^2-4b^2)] , 2b ),( 0 ,0 ) ) $
quindi le ultime 2 soluzioni saranno:
$u_(1,2)= ( (0),(1), ((2b)/([(a_2-a_1)\pmsqrt((a_1-a_2)^2-4b^2)])) , (0)) $ (non normalizzate) oppure
$u_(1,2)= ( (0),(1), (-pmi) , (0)) $ se $a_1=a_2$
Ha senso?

[Nikikinki]

L'indice in alto si riferisce ad una "particella 1 e 2"? Cosa è la base $\chi_(+-)$? Scusami se ti chiedo queste cose ma le notazioni non sono univoche, giusto per capirsi.

Ma soprattutto, le matrici di Pauli sono matrici 2x2, come è possibile che ti venga una matrice complessiva 4x4?

[Andrea-.-'']

Mi accorgo, ora che me lo fai notare, di aver tralasciato un po' troppe informazioni quindi rimedio subito:
Si esatto l'indice in alto si riferisce alle 2 particelle, mentre con $chi_\pm$ intendevo gli autovettori di $sigma_z$ quindi visto che i due operatori $sigma_z^(1)$ e $sigma_z^(2)$
agiscono su spazi di Hilbert diversi lavorerò con {$chi_(+)^(1)chi_(+)^(2)$, $chi_(-)^(1)chi_(-)^(2)$, $chi_(+)^(1)chi_(-)^(2)$, $chi_(-)^(1)chi_(+)^(2)$} che mi porta a matrici 4x4.

Hai ragione di nuovo mi sono accorto ora di aver commesso un po' una leggerezza nello scrivere il titolo del post.
In effetti negli appunti ho usato $sigma$ per le matrici di Pauli e quindi ho sovrapposto le due cose. Forse sarebbe giusto parlare di matrici di Pauli se avessi una sola particella... però ora sinceramente non riesco neanche a pensare a un titolo appropriato