Conduttori metallici

L'eccesso di carica in un conduttore si distribuisce in superficie con densità $\sigma$. Quantificando la carica:
$ q=\int_{\Sigma}\sigmad\Sigma $
Il potenziale è costante in ogni punto del conduttore e vale:
$ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\Sigma}\frac{\sigmad\Sigma}{r} $
La distribuzione superficiale che rende nullo il campo all'interno del conduttore è una ed una sola!
Qualcuno saprebbe spiegarmi come si giunge alla seguente affermazione: "Per questo motivo se la carica $q$ viene aumentata e portata a $mq$, sia la densità che il potenziale vengono moltiplicati per $m$."? Da questo poi ho capito che viene naturale definire la capacità.


Consideriamo due conduttori $C_1$ e $C_2$. $C_2$ è cavo! Nella sua cavità, isolato da $C_2$, troviamo $C_1$. Se $C_1$ ha una certa carica $q$, si assiste ad induzione completa. Il campo all'interno della cavità dipende da $q$, la posizione di $C_1$ e dalle forme delle superfici affacciate. La distribuzione superficiale che rende nullo il campo all'interno del conduttore $C_2$ è una ed una sola e dipende esclusivamente dalla forma esterna di $C_2$. Non riesco a capire perchè fissata $\q$, l'effetto all'esterno è sempre lo stesso indipendentemente da forma e posizione di $C_1$. Se $C_1$ si muovesse, non provocherebbe una variazione nella distribuzione delle cariche indotte sulla superficie della cavità e, conseguentemente, nella distribuzione delle cariche su $C_2$?

La prima domanda mi pare ovvia e fatico a darti una risposta formale.
Per la seconda, certamente se sposti $C_1$ la distribuzione delle cariche sulla superficie interna di $C_2$ cambia. Ma in ogni caso il campo nello spessore di $C_2$ è nullo, per cui non si vede perchè dovrebbe cambiare la distribuzione sulla superficie esterna

Se avvicinando $C_1$ alla parete della cavità interna modifico la distribuzione di cariche indotte sulla superficie interna di $C_2$. Quindi è quest'ultima che si "aggiusta" affinchè il campo sia nullo nella massa del conduttore $C_2$?
Ho un'altra domanda:

Perchè il campo nell'intercapedine è solo dovuto al contributo del cilindro interno? Non dovrei considerare anche il campo dovuto al guscio cilindrico esterno? In analogia ad un guscio sferico si verifica che anche all'interno di un guscio cilindrico il campo è nullo?

Se avvicinando $C_1$ alla parete della cavità interna modifico la distribuzione di cariche indotte sulla superficie interna di $C_2$. Quindi è quest'ultima che si "aggiusta" affinchè il campo sia nullo nella massa del conduttore $C_2$?

Sì

In analogia ad un guscio sferico si verifica che anche all'interno di un guscio cilindrico il campo è nullo?

Sì, all'interno di un guscio conduttore (chiuso) di qualsiasi forma il campo è nullo.

Nel caso di guscio sferico la nullità del flusso attraverso una superficie sferica concentrica implica, per motivi di simmetria, la nullità del campo. Se la forma è qualsiasi come lo si dimostra?
L'armatura esterna di un conduttore cilindrico viene trattata come chiusa e quindi finita? Pensavo si usasse l'approssimazione di cilindro indefinito in quanto, almeno per il cilindro interno ($\vecE=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\vecu_r$), viene utilizzata.

Se la forma è qualsiasi come lo si dimostra?

Tutti i punti del guscio metallico sono allo stesso potenziale, quindi anche tutti i punti della superficie interna. E nessuna linea di campo può collegare due punti allo stesso potenziale, quindi nella cavità il campo deve essere nullo.

Non può essere perpendicolare come quello generato dalla superficie esterna (equipotenziale)? Quando nella cavità del cilindro esterno non c'è niente sono d'accordo con te con il fatto che il campo sia nullo. In questo caso non ci sono proprio carche sulle pareti della cavità. Quando inseriamo il cilindro interno, dopo l'induzione completa, si formano cariche indotte sulle pareti...

Non può essere perpendicolare come quello generato dalla superficie esterna (equipotenziale)?

No: dalla superficie esterna le linee escono (o entrano) e basta; su quella interna dovrebbero sia entrare che uscire, e questo non è possibile (perchè il campo è conservativo)

Quando nella cavità del cilindro esterno non c'è niente sono d'accordo con te con il fatto che il campo sia nullo. In questo caso non ci sono proprio carche sulle pareti della cavità. Quando inseriamo il cilindro interno, dopo l'induzione completa, si formano cariche indotte sulle pareti...

Certo, il campo è nullo in una cavità VUOTA; se dentro ci sono cariche, le linee del campo collegano le cariche interne con quelle indotte sulla superficie interna.