Discussioni su argomenti di Fisica, Fisica Matematica, Astronomia e applicazioni della Fisica
12/07/2019, 09:00
Buongiorno
,
mi piacerebbe farvi leggere questo passo che sto cercando di comprendere:
Il punto che non mi torna è che se: $\Phi:(Q,P)|->(q,p)$ (diciamo manda le coordinate "grandi" in "piccole", per intenderci)
In coordinate il pullback (dato che è perdefinizione la composizione di una forma con una phi (passaggio di carte)) non dovrebbe essere: $PdQ-pdq=dS$? (mentre nel corpo dell'immagine si legge:$pdq-PdQ=dS$, cioè l'esatto opposto)
Pensavo fosse un errore di battitura, ma anche negli esercizi lo tratta così e non mi ci ritrovo mica troppo.
Grazie a chi mi aiuterà
12/07/2019, 16:31
Il risultato è corretto, quantomeno perché è lo stesso che si trova per via variazionale. Ma anche pensandolo come forme su varietà mi pare coerente.
$\theta$ è la forma definita sulla varietà dove vivono $(Q,P)$ ed il pullback inverte la direzione sulla varietà in cui vivono $(q,p)$
12/07/2019, 17:14
Grazie ancora
Ok penso il punto di incomprensione sia qui
$\theta$ è la forma definita sulla varietà dove vivono $(Q,P)$ ed il pullback inverte la direzione sulla varietà in cui vivono $(q,p)$
Perché la forma non dovrebbe essere invece sulla varietà di $(q,p)$ e il pullback me lo porta su $(Q,P)$
cioè se ho:
$\Phi:(Q,P)->(p,q)$
e la forma theta la quale associa a ogni punto una certa mappa che porta in R $M->RR$
la forma theta cioè va da $M->M^\star$
il pullback sarebbe
$\Phi^\star(\theta)=\theta o \Phi$
Quindi mi sembra agire sui (Q,P)
Mi sa che ho ancora bisogno del tuo aiuto
Ultima modifica di
vastità il 12/07/2019, 22:14, modificato 2 volte in totale.
12/07/2019, 18:04
Dato che $\omega=d\theta$ ed $\omega$ è definita per $(Q,P)$ perché quelle sono le variabili che hai, allora $\theta$ non può che accettare di essere definita sui $(Q,P)$.
12/07/2019, 22:15
Però il pullback da che ricordi dovrebbe essere:
Se ho due varietà con $\Phi:M->N$
Ed $F:N->RR$
$\Phi^\star(F)=F o \Phi$
( a parolacce: il pullback dovrebbe tirarmi la F che va da N (codominio di $\Phi$) ad R sul dominio della $\Phi$)
quindi in questo caso sarebbe:
$\Phi^\star(\theta)=\theta o \Phi^(-1)$ ?
Grazie di nuovo
12/07/2019, 22:43
Sì, è un fatto di covarianza: quando "tiri indietro" campi, il pullback ha il differenziale di $\Phi$, quando tiri indietro forme, il pullback ha l'inverso del differenziale di $\Phi$ (o l'aggiunto? Ora non ricordo).
12/07/2019, 22:49
Uhm questa cosa non la sapevo in effetti e mi sfugge. Mi piacerebbe approfondirle un po' meglio 'ste cose ammetto..
13/07/2019, 09:12
Il motivo è che se \(f : M \to N\) è una mappa di varietà, la mappa indotta tra i fibrati cotangenti è \(T^*f : T^*N \to T^*M\); per riottenere una mappa "nella direzione giusta" devi supporre che $f$ sia un diffeomorfismo, e considerare l'inversa di \(T^*f\).
Spazio tangente per spazio tangente non fai altro che considerare l'inversa della mappa lineare \(T_p^*f : T_{fp}^*N \to T_p^* M\) indotta tra gli spazi duali di $T_pM$ e $T_{fp}N$.
13/07/2019, 09:57
Giustissimo!
Grazie mille ad entrambi
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