Esercizio di fisica 2: spira immersa in un campo magnetico variabile

Salve, mi è sorto un dubbio circa il seguente esercizio:
<<Una spira circolare di raggio r=1.0 cm, costituita da un filo conduttore di resistenza R=10 Ohm, è posizionata perpendicolarmente ad un campo magnetico uniforme che decresce dal valore B(0)=0.6 T a partire dal tempo t=0 con dB/dt=0.1 T/sec.
Calcolare il campo magnetico al centro della spira al tempo t1=3 secondi e la carica q che ha percorso la spira nello stesso intervallo temporale

Il dubbio mi è sorto facendo il seguente ragionamento:
la spira essendo immersa in un campo magnetico variabile sarà soggetta ad una tensione indotta su di essa, visto che mi da la resistenza posso anche calcolare la corrente che circola nella spira, ma una spira percorsa da corrente genera al centro di essa un certo campo magnetico, qui mi sono confuso, perchè ad esempio mi dice di calcolare questo campo trascorsi 3 secondi dall'istante iniziale.
Mi è venuta un'idea a tal proposito: magari il problema mi dice di voler calcolare il campo magnetico dopo 3 secondi perchè il campo magnetico risultante, al centro della spira, è la somma del campo magnetico prodotto dalla corrente che circola nella spira, più il campo magnetico presente dall'inizio che dopo 3 secondi vale: $0,6-0,1*t=0,3\ T$?
Avete qualche altro consiglio per impostare il problema? Grazie in anticipo

... magari il problema mi dice di voler calcolare il campo magnetico dopo 3 secondi perchè il campo magnetico risultante, al centro della spira, è la somma del campo magnetico prodotto dalla corrente che circola nella spira, più il campo magnetico presente dall'inizio che dopo 3 secondi vale: $0,6-0,1*t=0,3\ T$?

Direi proprio di sì.

... Avete qualche altro consiglio per impostare il problema?

Certo, procedere con i calcoli.

Certo, procedere con i calcoli.

Eccomi!

Dunque, come detto in precedenza la nostra spira è immersa in un campo magnetico variabile, dunque la spira sarà ospite di una tensione indotta, applicando Faraday-Lenz:
$e_i=-(d\phi\(B))/(dt)$
A questo punto ho pensato che: essendo la superficie della spira costante, la derivata del flusso rispetto al tempo è uguale a quella del campo magnetico rispetto al tempo, che è un dato del problema, quindi la tensione indotta vale:
$e_i=-0,1 V$ (è corretta questa osservazione??)
Posso determinare la corrente, che per la legge di Ohm:
$i=(e_i)/R=(0,1)/10=0,01 A$
Il campo magnetico prodotto da una spira circolare è massimo al centro e vale:
$B_(MAX)=(mu_0*i)/(2*r)=2pi*10^-7$
Al tempo $t_1= 3 s$ il campo magnetico iniziale si sarà abbassato al valore di $0,3\ T$, il campo magnetico al centro della spira quindi è dato dalla somma del campo magnetico iniziale, trascorsi i 3 secondi, e del campo magnetico che ha prodotto la spira, essendo stata percorsa da corrente:
$B_(t_1=3)=0,3+2pi*10^-7$

Per quanto riguarda il secondo quesito poi ho svolto nella maniera seguente:
$i=(dq)/(dt) rArr dq=i*dt rArr Q=int_(0)^(3) i*dt = 3*i=0,03 C$

... A questo punto ho pensato che: essendo la superficie della spira costante, la derivata del flusso rispetto al tempo è uguale a quella del campo magnetico rispetto al tempo, che è un dato del problema, quindi la tensione indotta vale:
$e_i=-0,1 V$ (è corretta questa osservazione??)

No.

No.

Tutto d'un tratto la mia euforia di aver azzeccato l'esercizio svanì..

No, dai, scherzi a parte, perchè non è giusta? spesso in questa tipologia di problemi quando non è la variazione della superficie della spira a causare la tensione indotta ho notato che si deriva solo il campo magnetico, anche perchè non vedo altri modi con i quali poter applicare la legge di Faraday-Lenz

Ultima modifica di Ema6798 il 18/07/2019, 20:44, modificato 2 volte in totale.

No.

Tutto d'un tratto la mia euforia di aver azzeccato l'esercizio svanì..

No, dai, scherzi a parte, perchè non è giusta?

Dai che sai darti autonomamente una risposta; segui la strada maestra, non cercare pericolose scorciatoie.

... spesso in questa tipologia di problemi quando non è la variazione della superficie della spira a causare la tensione indotta ho notato che si deriva solo il campo magnetico...

Ora sei tu che stai "scherzando".

Hai ragione, meglio seguire la strada maestra.
Mi sono accorto che io ho posto la derivata del campo magnetico uguale a quella del flusso magnetico come se campo magnetico e flusso magnetico fossero la stessa cosa.
Il flusso magnetico infatti è pari al campo magnetico per una certa superficie, dunque mi è subito venuto in mente di dover moltiplicare quel fattore $(dB)/dt$ per un $piR^2$, alla fine ho fatto un calcolo al volo "seguendo la strada maestra" come mi hai suggerito, quindi sono partito dalla definizione del flusso magnetico:
$phi(B)=int_(S) B\ dS=int_(0)^(R) (0,6-0,1t)*2pir\ dr=(0,6-0,1t)2pi\int_(0)^(R) r\ dr=(0,6-0,1t)piR^2$

Quindi: $(dB)/dt=-0,1 rArr e_i=0,1*pi*R^2$

Ciao,
la prima parte penso sia corretta dato che ti dice esplicitamente come decresce.
Quindi
$B(t) = (0,6-0,1*t)T$
Allora $B(3) = 0,3T$

Per la seconda parte, dalla legge di Faraday-Lenz si ha che

$fem = -(dphi(B))/(dt)$

Allora dato che $phi(B) = B(t)*S = B(t)*pi*r^2$ ( dato che $B$ è ortogonale a $S$ la normale a $S$ ed esso saranno paralleli, quindi $B(t) *|S| \idehat(n) = |B(t)||S|$)
si ha $fem = 1/10 * pi * r^2$

Dalla legge di Ohm sappiamo che $fem = i*R$

Allora $i(t) = (fem)/R$

Ma $i(t) = dq/dt = (fem)/R$

Allora $q(t) = int_{0 }^{3 } (fem)/R dt = int_{0}^{3} 1/10 * pi * r^2 dt = 3pimuC$

E quindi, il campo al centro della spira? ...

BTW Il risultato numerico finale è corretto per $q(3)$ (non $q(t)$), ma sotto l'integrale, non 1/10 ma 1/100.

Hai ragione mi sono perso la resistenza per strada

Comunque a quel punto basterebbe usare la formula di Biot-Savart

$B_i + B(3) = (mu_0*i)/(4pi) \oint(dl \wedge r)/(r^3) + 0,3T $

dove $r$ la distanza dal centro della spirale che è costante.

Quindi non dovrebbe essere difficile proseguire soli.