Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 15/08/2019, 19:28

Dunque, operatori salita e discesa. Penso non sia un caso che la dimensione sia stata ridotta a 2, perciò farei così:

$hatS_+ |darr> = barh |uarr> -> ( ( a , b ),( c , d ) )( ( 0 ),( 1 ) )=( ( b),( d ) ) =barh( ( 1 ),( 0 ) ) -> b=barh, d=0 $

$ hatS_+ |uarr> =0 -> ( ( a , b ),( c , d ) )( ( 1 ),( 0 ) ) = 0 -> a=c=0 $

$hatS_+=barh( ( 0 , 1),( 0 , 0 ) )$

Poi so che l'uno è l'hermitiano coniugato dell'altro (oppure uso lo stesso procedimento) e quindi

$hatS_- =barh( ( 0 , 0),( 1 , 0 ) )$

Poi da $hatS_(+-)=hatS_x+-ihatS_y$ estraggo che $hatS_x=(hatS_+ + hatS_-)/2$ e $hatS_y=(hatS_+ - hatS_-)/(2i)$

Torna fin qui? Perché anche questo l'ho imparato correlato a $s=1/2$, ma penso che le due equazioni iniziali siano valide indipendentemente dal valore dello spin? O forse cambia solo quell'$barh$ davanti... :?:

P.S. Buon Ferragosto in ritardo!
Silence
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 17/08/2019, 06:01

Grazie per il buon ferragosto...devo ancora ritornare alla civiltà :) Entro stasera dovrei essere in grado di di risponderti bene, al massimo domani, comunque in pratica nonostante quanto detto hai comunque sviluppato il tutto come avessi le matrici di Pauli. Perché non ti ricavi la forma completa? Partendo dal risultato noto degli elementi di matrice di matrice? Sia per lo spin che per il momento angolare, sono uguali perché l'algebra dei commutatori è uguale. Se non riesci poi te lo mostro io appena rientro. Giusto per vedere se il risultato tornerebbe uguale.
Nikikinki
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 17/08/2019, 12:36

Grazie delle indicazioni, ci provo nella speranza di riuscire a tirar fuori qualcosa che sia simile a quel che mi mostrerai. Nessuna fretta, che sia oggi o domani o la settimana prossima, ancora grazie mille.
Silence
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 18/08/2019, 10:15

Allora gli elementi di matrice non nulli dei due operatori sono

$(S_x)_(\sigma,\sigma-1)=(S_x)_(\sigma-1,\sigma)=1/2 \sqrt((S+\sigma) (S-\sigma+1))$

$(S_y)_(\sigma,\sigma-1)=(S_y)_(\sigma-1,\sigma)=-i/2 \sqrt((S+\sigma) (S-\sigma+1))$

questi sono risultati importanti, ma trovi come ricavarli su qualunque testo di quantistica. Nel caso non riuscissi a trovare i riferimenti proviamo a ricavarli. Ovviamente sigma è la proiezione lungo z dello spin S.

Comunque oltre all'ovvio valore nullo sulla diagonale (proprio perché gli operatori non commutano tra loro) noterai che il risultato complessivo ha poco a che fare con le matrici di Pauli. Anche nel tuo caso particolare non puoi esimerti dal calcolare la matrice. Ad esempio l'elemento

$S_(3/2,1/2)=\sqrt3/2$ che non è 1/2 come troveresti con le matrici di Pauli.

Ma valori che contano li trovi anche in altre posizioni, come

$S_(-1/2,1/2)=\sqrt3/2$

che non puoi non considerarlo perché nel prodotto righe per colonne con il tuo vettore, conta eccome. Le matrici di Pauli generano lo spazio (in realtà il gruppo) dove vive lo spin 1/2. Servono altre matrici per generare gli spazi di momento angolare (orbitale o intrinseco) di ordine superiore. La considerazione di ridurti a sottospazi particolari, caso per caso, funziona solo se il tuo vettore e il tuo spazio te lo concedono ma in generale no. E' sempre preferibile, quando si ha a che fare con questi problemi, trovare le matrici complete e verificare a posteriori, a meno di non avere un'ottima manualità su questi oggetti.

Trova tu le matrici complete e calcola i vari valori medi, tanto fai subito ci sono diversi zeri e la matrice è hermitiana.
Nikikinki
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 21/08/2019, 19:39

Rieccomi, chiedo scusa per il ritardo, impegni imprevisti e piuttosto longevi...
Mi spiace tirarla così tanto per le lunghe, ma purtroppo il mio libro approfondisce solamente l'argomento spin 1/2, questa domanda l'ho trovata per la prima volta in un vecchio esame. Tra l'altro ne ho trovata una seconda con spin 1 che userò per verificare di aver capito una volta concluso qui.

Facendo qualche ricerca, ho trovato queste espressioni per l'elemento di matrice generalizzato in base allo spin (nonché una forma generalizzata di quel che mi hai scritto tu):

$(S_x)_(ab)=barh/2(delta_(a,b+1)+delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
$(S_y)_(ab)=ibarh/2(delta_(a,b+1)-delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$

con a,b indici dell'elemento di matrice tali che ovviamente $1<=a,b<=2s+1$, il che determina la dipendenza della dimensione della matrice dallo spin.
Ora, in base a questo, le matrici complete dovrebbero essere, se non ho sbagliato i conti:

$S_x=barh/2( ( 0 , sqrt3 , 0 , 0 ),( sqrt3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , sqrt3 ),( 0 , 0 , sqrt3 , 0 ) ) $, ma siccome lo stato è quello degli autovalori positivi si riduce alla prima 2x2, dico bene? E lo stesso ragionamento si applica anche a $S_y$ per ottenere la sua matrice.

A quel punto sì che per i valori attesi e poi per gli sqm posso andare di $<chi'|S_(x,y)|chi>$ e quel che avevo scritto all'inizio...

PS: Perdona la banalità della domanda, ma se volessi trovare gli autovettori associati a queste due matrici anziché quelli canonici di $S_z$, li trovo come normalissimi autovettori, giusto? Per $S_x$ ad esempio avrei $1/(2sqrt2)[( ( 1 ),( sqrt3 ),( sqrt3 ),( 1 ) ) ; ( ( -sqrt3 ),( -1 ),( 1 ),( sqrt3 ) ) ; ( ( sqrt3 ),( -1 ),( -1 ),( sqrt3 ) ) ; ( ( -1 ),( sqrt3 ),( -sqrt3 ),( 1 ) ) ]$ che naturalmente non sono canonici perché la matrice non è diagonale.

Spero di aver capito il concetto, perché se così fosse il problema è risolto indipendentemente dal valore di spin assegnato, che non sarebbe affatto male.

Ancora grazie per la tua preziosissima pazienza.
Ultima modifica di Silence il 24/08/2019, 13:39, modificato 1 volta in totale.
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 23/08/2019, 15:28

Silence ha scritto:
Facendo qualche ricerca, ho trovato queste espressioni per l'elemento di matrice generalizzato in base allo spin (nonché una forma generalizzata di quel che mi hai scritto tu):


Sì, in quelle che ti ho scritto io è esplicitato il fatto che ci sono solo elementi che differiscono di 1, nella tua questo concetto è reso con le delta.

Silence ha scritto:Ora, in base a questo, le matrici complete dovrebbero essere, se non ho sbagliato i conti:

$S_x=barh/2( ( 0 , sqrt3 , 0 , 0 ),( sqrt3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , sqrt3 ),( 0 , 0 , sqrt3 , 0 ) ) $, ma siccome lo stato è quello degli autovalori positivi si riduce alla prima 2x2, dico bene? E lo stesso ragionamento si applica anche a $S_y$ per ottenere la sua matrice.


Sì, la matrice dovrebbe essere corretta. Il fatto che "ci si riduce" significa sempre e comunque che quel blocco da te indicato è quello "efficace" nel calcolo del valore medio. In realtà non ci si riduce a niente, la matrice è quella e usata in altri contesti va tenuta tutta.




Silence ha scritto:PS: Perdona la banalità della domanda, ma se volessi trovare gli autovettori associati a queste due matrici anziché quelli canonici di $S_z$, li trovo come normalissimi autovettori, giusto?


Naturalmente li trovi al solito modo standard, come faresti per le matrici di Pauli. Non controllo se quelli che hai trovato sono corretti ma sì, il procedimento è sempre lo stesso.


Silence ha scritto:Spero di aver capito il concetto, perché se così fosse il problema è risolto indipendentemente dal valore di spin assegnato, che non sarebbe affatto male.

Ancora grazie per la tua preziosissima pazienza.


Il senso di quel risultato è proprio quello. Viene fuori dall'algebra dei momenti angolari quindi è qualcosa di molto molto...intimo. :wink:
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 24/08/2019, 16:45

Ah, finalmente un sospiro di sollievo... bene, a questo punto penso di esserci. Adesso, per spregio, scrivo qui sotto la risoluzione di un esercizio diverso (ma simile). Dopo tutto il tempo che ti ho fatto passare su questo argomento non oso chiedere commenti ulteriori, se le cose tornano non perdere tempo a rispondere, ma se eventualmente ti capitasse di notare una tragedia magari lanciami un oggetto contundente con un tiro ad effetto.

Inoltre, metti mai che in futuro qualcuno vada a riesumare questo post, un esempio in più al termine delle spiegazioni farà comodo.

"Si consideri una particella con spin 1 e momento angolare orbitale nullo in un campo centrale. Se si considerano le sole variabili di spin, il sistema è rappresentato da un vettore di stato di dimensioni finite e gli operatori da matrici di dimensioni finite."

a) fornire una rappresentazione matriciale di $S^2$ e $S_z$

$S^2=s(s+1)barh^2=2barh^2$
$S_z=m_sbarh={barh,0,-barh}$

$S^2=2barh^2( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$

$S_z=barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )$

b) fornire una rappresentazione dei vettori associati agli autostati di $S_z$ e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base

Dicevamo che gli autovettori sono canonici, dunque ${chi_1,chi_2,chi_3}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$

NB. si trovano risolvendo $S_zchi_s=+-barhchi_s$ e $S_zchi_s=0$

Il vettore generico sarà dunque della forma

$chi=( ( a ),( b ) , (c) ), |a|^2+|b|^2+|c|^2=1$



c) per lo stato generico, dire quali sono i possibili risultati della misura di $S^2$ e $S_z$, e qual è la probabilità di ottenere ciascuno dei valori? Cosa si otterrebbe se si misurasse la componente x dello spin?

I risultati possibili delle misure sono gli autovalori scritti in a). Le rispettive probabilità e autovettori associati saranno:

$S^2: P(2barh^2) = |A|^2+|B|^2+|C|^2=1$ (cumulativa), associato a tutti e tre gli autovettori
$S_z: P(barh)=|A|^2 -> ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; P(0)=|B|^2 -> ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; P(-barh)=|C|^2 ->( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$

Riguardo la misura della componente x, avendo la z devo accontentarmi (oppure sottolineare che se avessi scelto x anziché z come asse iniziale, le misure avrebbero confermato gli stessi autovalori), ma facciam finta invece di volere le espressioni matriciali di $S_x$ e $S_y$. Ricordando le espressioni dell'elemento di matrice ab:

$(S_x)_(ab)=barh/2(delta_(a,b+1)+delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
$(S_y)_(ab)=ibarh/2(delta_(a,b+1)-delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$

ottengo:

$S_x=barh/2sqrt2( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ e la sua hermitiana coniugata

$S_y=barh/2sqrt2( ( 0 , -i , 0 ),( i , 0 , -i ),( 0 , i , 0 ) ) $

d) scrivere lo stato combinazione lineare paritaria degli autostati di Sz e trovare il valore di aspettazione di Sz su questo stato

La condizione di paritarietà è: $|A|^2=|B|^2=|C|^2->A=B=C=1/sqrt3$ poché appunto $|A|^2+|B|^2+|C|^2=1$

Gli autostati di $S_z$ sono i tre vettori canonici di cui sopra, quindi lo stato combinazione lineare sarà

$chi'=1/sqrt3 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )$

Per il valore atteso semplicemente $<S_z> =<chi'|S_z|chi> = ( 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 ) barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )=0 $

(oppure detti $lambda$ gli autovalori potevo scrivere $<S_z> =sum_(i=1)^3lambda_iP(lambda_i)$ visto che siamo in ambito discreto). Da ciò, volendo, posso anche trovarmi l'incertezza sulla misurazione con

$sigma=sqrt(<S_z^2> - <S_z>^2)$

Bene, questo è quanto... spero di non aver fatto errori banali. Ancora grazie infinite per tutte le spiegazioni e i chiarimenti, non oso immaginare quanto ci avrei messo per conto mio. Avanti col prossimo esame! :arrow:
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 25/08/2019, 07:58

Sì mi pare tutto corretto.

Ad esempio nella c), quando fai la misura di $S_x$ sullo stato generico $(a,b,c)$ troveresti una cosa come

$<S_x> =\sqrt(2)b(a+c)$ .

E qui appare evidente che è un valore nullo sugli autostati di $S_z$ in quando solo un parametro è non nullo, valendo 1.

PS: Un paio di risposte sopra avevo scritto $S_(-1/2,1/2)=\sqrt(3)/2$ , in realtà vale 1 (come hai trovato tu scrivendo la matrice completa) devo aver fatto confusione con i segni. Giusto per chiarezza verso chi possa leggere :-)
Nikikinki
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