Piccolo chiarimento Legge di Biot-Savart

[MrEngineer]

Salve ragazzi, studiando i campi magnetici ho analizzato il campo di un filo rettilineo di lunghezza pressoché infinita e mi sono imbattuto nella legge di Biot-Savart. La parte dimostrativa del Mazzoldi è un pò prolissa e gioca molto su considerazioni di natura geometrica, mi scuso se allego un link esterno ma scrivere tutte le relazioni mi farebbe perdere parecchio tempo.
http://polysense.poliba.it/wp-content/uploads/2019/04/CAPITOLO-7.-Teorema-Ampere.pdf

L'intera spiegazione inizia dalla slide (o pagina) numero 4 e finisce alla 6. L'unica cosa che non riesco a capire è perchè, considerando un filo di lunghezza infinita, e quindi da $-oo$ a $+oo$, questo equivalga ad integrare tra $0$ e $\pi$. Mi sono imbattuto in altri casi simili negli esercizi in cui venivano scelti, ad esempio, $0$ e $\pi/2$ come estremi di integrazione. Grazie di cuore in anticipo

[RenzoDF]

Semplicemente perché l’angolo $\theta$ presenta quell’intervallo di variabilità fra quei due estremi infiniti del conduttore; se il filo non fosse infinito ma di lunghezza finita, ovviamente, l’intervallo sarebbe diverso.

[MrEngineer]

Ciao Renzo mi scuso ma non ho capito

[RenzoDF]

Una volta espresso $s$ in funzione di $\theta$¹, andrai a effettuare un cambio di variabile (da $s$ a $\theta$) e di conseguenza un cambio degli estremi di integrazione, che passeranno da $s=-\infty$ a $\theta=0$ e da $s=+\infty$ a $\theta=\pi$.

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Note

1. Conveniente, vista la presenza del prodotto vettoriale e quindi del $\sin\theta$. ↑

[MrEngineer]

perchè proprio $0$ e $\pi$

E' proprio la scelta di questi estremi di integrazione che non riesco a capire, che variano in base a qualcosa che ancora mi sfugge

[RenzoDF]

Ma l'hai guardata la figura di quel pdf?
Hai provato ad immaginare come varia quell'angolo $\theta$ andando a muovere quel particolare punto di ordinata $s$ relativo al generico tratto infinitesimo $ds$, dall'estremo infinito inferiore a quello infinito superiore del conduttore?

[MrEngineer]

Devo immaginare di variare il punto $P$, giusto?

[RenzoDF]

No, ho sbagliato a scrivere P, non avevo visto che la P era già usata, rileggi il mio post.

[MrEngineer]

ok ti ringrazio Non ho ancora capito, ma vediamo se rileggendo più volte mi viene in mente la soluzione...

[RenzoDF]

Se non ti piace ricavartelo per via geometrica, puoi anche farlo più rigorosamente per via analitica, dalla funzione $s=f(\theta)$; suppongo che un cambio di variabile ti sia già capitato più volte nello studio, no?

PS O meglio ancora

$ \theta =g(s)= {(\pi-tan^-1(R/s) \text{ se } s\ge 0 ), (-tan^-1(R/s) \qquad \text{ se } s<0):} $