Matematicamente.it

Sto provando ad immaginare la cosa per via geometrica, perchè son sicuro che sia di gran lunga più facile così. Mi sono imbattuto in un altro esercizio in cui l'estremo inferiore vale $\pi/2$ e quello superiore $0$, ma la cosa non mi è chiara per niente mannaggia

Hai letto il PS del mio precedente messaggio?

Ciò che mi hai detto nel PS ha validità generale o vale solo in questo specifico caso di filo rettilineo indefinito?

Ovviamente vale solo per il caso di filo rettilineo, che poi sia infinito o finito, ovvero che si estenda da s=a a s=b, quelle relazioni valgono ancora.

Mi scuso se insisto ancora ma non sono soddisfatto se non riesco a capire la geometria che sta dietro a tutto questo. Mi trovo in questo caso:



Il tratto orizzontale non contribuisce perché $|ds \times u_r| = 0$ con $u_r$ versore della direzione che va dal pezzettino di filo che consideriamo al punto $O$. Il campo dovuto al tratto di semicirconferenza l'ho calcolato con successo usando la prima legge di Laplace. Il mio problema su cui sto sbattendo la testa giornalmente è il tratto rettilineo verticale. Questa volta, in teoria, rispetto al caso contemplato all'inizio di questo topic, in cui il filo era rettilineo e di lunghezza infinita, avremo un filo a "semiretta" dato che avrà origine in un certo punto $P$ di ordinata $0$ e con una certa ascissa $x$. Vi chiedo per l'ultima volta, se vi è possibile, di aiutarmi a capire la natura geometrica del problema, altrimenti mi arrangerò in qualche altro modo, ad esempio usando le relazioni suggerite da Renzo senza metterle in discussione...

Spulciando un pò in rete ho trovato la seguente risposta di @RenzoDF
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8258331

Ed è proprio quello che mi serve capire, perchè in tutti i problemi come questi viene sempre applicata la stessa relazione essendo i fili semi-infiniti.

MrEngineer ha scritto:... Mi trovo in questo caso: ... Il mio problema su cui sto sbattendo la testa giornalmente è il tratto rettilineo verticale.

Supponendo tu stia cercando il campo nell'origine di quel sistema, ti chiedo: quel tratto verticale è di lunghezza finita h?
Se la risposta è sì, dovrai integrare il contributo infinitesimo del campo, da s=-h a s=0 e di conseguenza, ricordando quanto detto nel thread, da \(\theta_i=\tan^{-1}(R/h)\) a \(\theta_f=\pi/2\); se la risposta è no, ovvero con h infinito, usando la stessa relazione, otterrai per il primo estremo \(\theta_i=0\), e in questo caso il campo sarà ovviamente la metà di quello generato da un filo infinito.

MrEngineer ha scritto:... Il campo dovuto al tratto di semicirconferenza l'ho calcolato con successo usando la prima legge di Laplace.

Per il contributo di un arco di circonferenza nel suo centro, ti conviene ricordare che puoi ottenerlo come frazione \(\alpha/(2\pi)\) del campo al centro di una spira circolare, senza dover ogni volta scomodare Laplace.

Riprendo questo topic per non doverne riaprire un altro. Dal teorema di Ampere (che sicuramente conosceremo tutti) il verso della linea chiusa $\gamma$ determina il verso delle correnti concatenate positivamente o negativamente. Sto avendo un piccolo dubbio.



Sia $I_1$ che $I_2$ attraversano la curva $\gamma$ più volte. $I_2$ la attraversa in due versi opposti dunque il suo contributo in termini di correnti concatenate sarà nullo. $I_1$ la attraversa più volte nello stesso verso. Ma, in questo caso, non è importante quante volte la curva viene attraversata ma considero solo il contributo dovuto ai versi della corrente, giusto? Quindi, per capirci, $I_1$ sarà concatenata negativamente mentre $I_2$ non verrà conteggiata dico bene?

MrEngineer ha scritto: $I_1$ la attraversa più volte nello stesso verso.

Perchè "più volte"?

Nel senso che la attraversa nei due punti in verde.

Ah, no. Sei del tutto fuori strada. Dire che una corrente è concatenata ad una linea, non vuol dire che interseca la linea, ma che attraversa una superficie che ha la linea come contorno.
Mi dirai che di superfici che hanno la linea come contorno ce ne sono tante. Giusto. Ma, sotto certe ipotesi, il risultato è indipendente dalla superficie scelta.
Le ipotesi occorrenti non te le so dire di preciso, ma certamente se hai una corrente stazionaria è così.
Del resto, il termine aggiunto da Maxwell alla sua terza equazione, che corrisponde alla corrente di spostamento, serve ad aggiustare questi problemi, che nascono quando differenti scelte della superficie appoggiata al circuito danno luogo a differenti correnti concatenate. Hai presente? Se hai un circuito che contiene un condensatore, e una linea che circonda il filo, (come qui) tu puoi pensare ad una superficie, appoggiata alla linea, che è attraversata dal filo; ma se deformi la superficie, in modo da farla passare nello spazio fra le armature, non è attraversata da nessun filo, quindi da nessuna corrente, mentre la circuitazione di $vec B$, rimane uguale, pur di tener conto, oltre alla corrente "normale", anche di quella di spostamento, $epsi_0 (dPhi(vecE))/(dt)$