Reazione vincolare asse di rotazione di un disco con proiettile conficcato e massa collegata tramite fune

Salve a tutti!
Sto svolgendo il seguente esercizio che vi posto qua sotto:
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Per quanto riguarda i primi 3 punti non ho avuto problemi nella loro risoluzione, tuttavia mi trovo in difficoltà con l'ultima richiesta dove non sono in grado di procedere. Non riesco infatti ad identificare le forze che l'asse di rotazione si trova a dover bilanciare subito dopo l'urto. Chiedo dunque il vostro saggio aiuto! Grazie!

Se hai fatto gli altri punti questo non è più difficile.

Praticamente conosci dai punti precedenti l'accelerazione orizzontale del centro di massa subito dopo l'urto, e quindi puoi conoscere la reazione orizzontale che deve aver il perno affinchè la risultante delle forze applicate generi esattamente quell'accelerazione (prima equazione cardinale). Per la reazione verticale subito dopo l'urto è più facile, visto che l'accelerazione verticale del centro di massa è nulla in quel momento...

Perdonami, nei punti precedenti ricavo tramite la seconda equazione cardinale della dinamica l'accelerazione angolare del sistema immediatamente dopo l'urto e tramite la conservazione del momento angolare con l'urto anelastico ricavo invece la velocità angolare del sistema immediatamente dopo l'urto. Se consideriamo quindi il sistema costituito dal disco+proiettile+massa, come fatto in precedenza (la forza d'attrito dinamico infatti è considerata una forza esterna agente sul sistema), non riesco a capire come comportarsi con il centro di massa. In più non riesco proprio a mettere bene a fuoco la situazione delle forze che agiscono sull'asse di rotazione del disco dopo l'urto: capisco che sicuramente ci sarà il contributo dato dalla rotazione. Aiuto spiegatemi vi prego

Ti perdono, ma rileggi quello che ti ho detto.
L'accelerazione angolare la sai, la posizione del centro di massa dopo l'urto non mi pare difficilissimo da trovare, quindi poi non è difficile trovare l'accelerazione del centro di massa dopo l'urto e quindi la reazione vincolare richiesta(ripeto, vedi la precedente risposta considerando che le uniche forze agenti su tutto sono la forza di attrito, che conosci, e la reazione incognita).

Ok, penso di aver capito! Considero il sistema costituito dal disco e dal proiettile. Procedo scrivendo le coordinate x ed y del centro di massa del sistema (considero un sistema di riferimento con origine nel centro del disco) e da queste, espresse in coordinate polari, ricavo poi la derivata prima e seconda, rispettivamente \(\displaystyle \dot{x}_{cm} \), \(\displaystyle \dot{y}_{cm} \) e \(\displaystyle \ddot{x}_{cm} \), \(\displaystyle \ddot{y}_{cm} \). Scompongo ora le forze agenti sul sistema lungo gli assi di riferimento considerati ed ottengo:

\(\displaystyle R_{x} = T + F_{x} \)
\(\displaystyle R_{y} = P_{B} + P_{0} + F_{y} \)

dove \(\displaystyle T \) è la tensione della fune, \(\displaystyle P_{B} \) e \(\displaystyle P_{0} \) sono rispettivamente le forze peso del proiettile e del disco, \(\displaystyle F \) è invece la forza agente sul sistema causata dalla rotazione ed \(\displaystyle R_{x} \) ed \(\displaystyle R_{y} \) sono le componenti orizzontale e verticale della reazione vincolare del perno. Ora so che F è una forza così espressa:

\(\displaystyle F_{x} = (M+m) \ddot{x}_{cm} \)
\(\displaystyle F_{y} = (M+m) \ddot{y}_{cm} \)

Sostituisco quindi le espressioni di \(\displaystyle \ddot{x}_{cm} \) e \(\displaystyle \ddot{y}_{cm} \) ottenute in precedenza e si ottiene un'espressione per \(\displaystyle R_{x} \) ed \(\displaystyle R_{y} \).
Correggettemi se sto sbagliando e scusatemi ancora, ma non so perchè mi resta verametente difficile capire la risoluzione di quest'ultima richiesta! Grazie ancora infinite per la pazienza!

Io farei così.

Premessa: consideriamo tutto il sistema costituito dal disco incernierato e dalle due masse $m$.

La posizione del centro di massa subito dopo l'urto vista la simmetria delle masse $m$ coincide col centro del disco (si può pensare per determinale la posizione orizzontale del centro di massa che la massa in basso sia pure attaccata al disco).

A questo punto si vede che l'accelerazione orizzontale e verticale del centro di massa è nulla subito dopo l'urto (non avevo fatto caso prima che le due masse piccole sono uguali), vista che è nulla la distanza del centro di massa subito dopo l'urto dal centro del disco, per cui dalla prima equazione cardinale:

$R_x=mg mu_d$

e

$R_y=(m+M)g$ (la seconda massa $m$ non pesa sul perno).

Ok... credo di aver capito, ci ripenso. Ti ringrazio davvero! Mi perdo in queste cose e non so perchè! Grazie davvero!

Guarda che questo problema non è banale per uno studente, bisogna fare attenzione a un po' di cose.
Non mi torna solo che hai difficoltà solo nel punto 3, se hai fatto gli altri. Perché non riporti come hai svolto tutto?

Certo! Ti riporto di seguito come ho svolto i primi 3 punti così eventualmente vedo se sono corretti o meno!

Richiesta - (a)

Sappiamo per ipotesi che l'urto è un urto completamente anelastico, di conseguenza si ha la conservazione del momento angolare del sistema:

\(\displaystyle mv_{0} R = I_{tot}^{o} \omega_{f} \)
\(\displaystyle I_{tot}^{o} = R^{2} ({M \over 2} +2m) \)

Otteniamo quindi:

\(\displaystyle mv_{0} R = R^{2} ({M \over 2} + 2m) \omega_{f} \Rightarrow \omega_{f} = {m \over ({M \over 2} +2m)} {v_{0} \over R} \)

Richiesta - (b)

Siamo in presenza di una forza d'attrito dinamico, quindi una forza dissipativa ed unica forza agente sul sistema a compiere lavoro, di conseguenza possiamo affermare che:

\(\displaystyle W_{tot} = \Delta K = K_{f} - K_{i} \)
\(\displaystyle K_{f} =0 \) := Energia cinetica finale
\(\displaystyle K_{i} = {1 \over 2} I_{tot}^{o} \omega^{2} = {1 \over 2} R^{2} ({M \over 2} +2m) \omega^{2} \) := Energia cinetica iniziale
\(\displaystyle W_{tot} = - \mu_{d} mg 2\pi R \) := Lavoro svolto dalla forza d'attrito dinamico

Quindi:

\(\displaystyle -\mu_{d} mg2\pi R= -{1 \over 2}R^{2}({M\over 2} +2m) \omega_{f}^{2} \Rightarrow -\mu_{d} mg2\pi R= -{1 \over 2}R^{2}({M\over 2} +2m) ({m^{2} \over ({M \over 2} +2m)^{2}}) ({v_{0}^{2} \over R^{2}})\)

Infine:

\(\displaystyle \mu_{d} = {v_{0}^{2} \over 4\pi R g} {m \over ({M\over 2} +2m)} \)

Richiesta - (c)

Consideriamo il sistema costituito dal disco e le due masse m ad esso collegate, l'unica forza esterna agente sul sistema è nuovamente la forza d'attrito dinamica; consideriamo quindi la seconda equazione cardinale della dinamica:

\(\displaystyle \sum M_{ext} = I_{tot}^{o} \alpha \)
\(\displaystyle \sum M_{ext} = \mu_{d} mg R \)
\(\displaystyle I_{tot}^{o} = ({M \over 2} +2m)R^{2} \)

Quindi:

\(\displaystyle \mu_{d} mgR= ({M \over 2} +2m) R^{2} \alpha \Rightarrow \alpha = {\mu_{d} mg \over R({M\over 2} +2m)} \)

Insomma questo è come ho svolto i primi 3 punti, ovviamente ho omesso i passaggi e ho riportato solo le cose principali. Se c'è qualcosa di sbagliato segnalatelo pure che mi può solo aiutare! Grazie ancora!

Mi pare tutto giusto, compreso i punti in cui calcoli $mu_d$ e l'accelerazione angolare, quindi continuo a sorprendermi sul perché ti bloccavi sul calcolo della reazione vincolare del perno che alla fine è forse più facile di altri punti.

Comunque spero ora sia chiaro.