Pendolo che si accorcia

[Masaki]

Supponiamo di conoscere una Lagrangiana, che per comodità assumiamo funzione di una sola coordinata lagrangiana $q$. Se introduciamo una modifica alla Lagrangiana nota mediante la derivata totale nel tempo di una funzione $f(q,t)$¹:
\begin{equation}
L'(q, \dot{q},t)= L(q, \dot{q},t) + \frac{d f}{dt}(q,t)
\end{equation}
abbiamo che le equazioni di Eulero-Lagrange sono identiche per $L$ ed $L'$:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L'}{\partial q} &= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{d}{dt} \frac{\partial }{\partial \dot{q}} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg) - \frac{\partial }{\partial q} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg)\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q} - \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} -\frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q}\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}
\end{aligned}
\end{equation}
Poi vedere questa $\frac{df}{dt}$ come una libertà ulteriore che ti offre il sistema², che generalizza ad esempio il concetto del poter sommare una costante al potenziale senza cambiare la "fisica" del sistema. L'introduzione del termine $\frac{df}{dt}$ rappresenta tutta una serie di trasformazioni che puoi fare alla Lagrangiana senza che cambino le equazioni del moto del sistema. Perché ci interessano questo tipo di trasformazioni che lasciano inalterate le equazioni del moto³? Beh, perché la fisica sta "solo" in queste equazioni e nelle quantità che vi compaiono: posizione, velocità, accellerazione ... La Lagrangiana, come l'energia o il momento angolare, non hanno di per sè nessun significato fisico, non sono altro che delle quantità astratte con cui è più semplice fare i conti. E' lo stesso discorso che fai quando introduci i gauge di Lorentz o Coulomb:possiamo introdurre a piacere delle modifiche ai potenziali, in modo da semplificare i conti, purché non cambino i campi, che sono ciò che misuro (quindi qualcosa di Fisico) mediante una carica di prova.

Seconda cosa, la dipendenza funzionale della lunghezza dal tempo non ha alcun ruolo incisivo in questo discorso, in quanto l'avrei approssimata al primo ordine in ogni caso; inoltre nell'energia cinetica compare il termine $\dot{l}^2$ che non può essere espresso come derivata totale nel tempo di una funzione dipendente solo da $\theta$ e $t$.

Comunque non è che potresti dare un' occhiata ai conti che non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$?

Grazie

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Note

1. di classe $\mathcal{C}^2$ ↑
2. simile ai Gauge dei potenziali elettromagnetici ↑
3. Dal punto di vista puramente matematico, tutte le Lagrangiane che differiscono per un termine del tipo $\frac{df}{dt}$ formano una classe di equivalenza, ottenuta dalla relazione di equivalenza "avere le stesse equazioni del moto". Tutte queste Lagrangiane sono matematicamente e fisicamente equivalenti ↑

[dRic]

Comunque non è che potresti dare un' occhiata ai conti che non riesco a capire da dove salti fuori l'12?

Non ho capito come hai calcolato l'energia nell (12), ma per il resto i conti mi paiono corretti... Almeno li ho rifatti seguendo il tuo procedimento e mi tornano... Magari non è lecita qualche approssimazione, ma non saprei proprio...

Comunque non ho ancora capito una cosa riguardo a quel termine che se ne deva andare via. La tua dimostrazione matematica mi torna, ma non ho capito come fai a dire che ##2l\dot l \theta \dot \theta## lo puoi scrivere come derivata di una funzione delle sole variabili ##\theta## e ##t##, e poi perché invece ##\dot l^2## no? Scusa la domanda stupida.

[Masaki]

Quella in $(12)$ è l'energia di un oscillatore armonico smorzato positivamente, cioè con oscillazioni modulate da un esponenziale crescente. Credo che il motivo per cui venga il doppio del risultato sia che vengano considerate il doppio delle oscillazioni.

In ogni caso per quanto riguarda il termine $l \dot{l}\theta \dot{\theta}$ (nel caso in esame con le conseguenti approssimazioni) esso può essere visto come derivata di $\theta^2$ con altra roba, mentre in generale non puoi esprimere la grandezza $dot{l}^2 \theta^2$ come una derivata totale.

Se non sei convinto puoi pensarla così: la posizione di un punto in un piano usando le coordinate polari può essere scritta come:

\begin{equation}
\begin{cases}
x = r \cos(\theta)\\
y = r \sin(\theta)
\end{cases}
\end{equation}

dove $\theta \in (0, 2 \pi)$ e $r \in (0 , +\infty)$¹. Se interpretiamo $r, \theta$ come funzioni del tempo la velocità del punto può essere scritta come:

\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{r} \cos(\theta) - r \sin(\theta) \dot{\theta} \\
\dot{y} = \dot{r} \sin(\theta) +r \cos(\theta) \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}

L'energia cinetica è:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{T}(r, \dot{r},\theta, \dot{\theta},t) &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\\
& = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 \cos(\theta)^2 + r^2 \sin(\theta)^2 \dot{\theta}^2 - 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta} + \dot{r}^2 \sin(\theta)^2 + r^2 \cos(\theta)^2 \dot{\theta}^2 + 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta})\\
&= \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)
\end{aligned}
\end{equation}

Anzi adesso che ci penso, ho sbagliato a scrivere giù la lagrangiana in quanto ho usato la lunghezza d'arco invece che la posizione, anche se per via delle approssimazioni, sono arrivato alla stessa lagrangiana a cui sarei arrivato procedendo correttamente (provo a correggere).

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Note

1. Vengono scelti dei sottoinsiemi aperti in modo tale da definire un diffeomorfismo da $\mathbb{R}^2$ a $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$. In questo modo si riesce a rappresentare il piano ad eccezione di un numero di punti di misura di Lebesgue nulla, ovvero il semiasse negativo con l'origine. I risultati espressi in coordinate polari, definiti in $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$, vanno poi estesi per continuità a tutto $\mathbb{R}^2$. ↑

[dRic]

Non pensavo fosse una formula nota la $(12)$. A questo punto non saprei proprio cosa dire... Rifarò di nuovo i conti. Anche se inizio ad averci speso troppo tempo e gli esami sono alle porte

[Masaki]

Ma vai tra vez. Fai gli esami e quanto hai tempo fammi sapere

[dRic]

Scusate se ritorno. Una domanda stupida: ipotizzando che accorciandosi il pendolo passi da stati di equilibrio, ovvero stadi in cui le soluzio all'equazione del moto sono le calssiche che tutti conosciamo. si può dire che *in media* il potenziale gravitazionale tra uno stadio (1) e uno stadio (2), a seguito di una lentissima variazione della lunghezza, si aumentato di $mg∆l$. Secondo me sì, ma ci sono arrivato con uno strano ragionamento geometrico di cui non sono affatto sicuro.

PS: chiedo perché se ciò fosse vero allora l'esercizio sarebbe banalmente risolvibile col teorema del virtuale