Esercizio col teorema di Gauss
Inviato: 24/08/2019, 14:47Salve a tutti, avrei bisogno di un riscontro sullo svolgimento di questo esercizio.
Per il primo punto ho utilizzato il teorema di Gauss, considerando per le varie regioni di spazio gaussiane cilindriche dato la simmetria cilindrica del sistema.
Detto $ r $ il raggio della gaussiana per $ r>R_(1) $ sapendo che il campo elettrico data la simmetria è radiale risulta:
$ E2pirh=Q/epsilon_0 $ e quindi
$ vec(E)=Q/(2pirhepsilon_0) vec(u)_r $.
Per $ r<R_1 $ sfrutto ancora la simmetria cilindrica procedendo come prima però qui la carica all'interno della gaussiana non è $ Q $ ma è $ rho (pir^2h) $ ed applicando il teorema di Gauss:
$ E2pirh=(rhopir^2h)/(2epsilon_0) $ da cui
$ vec(E)=(rhor)/(2epsilon_0)vec(u)_r $.
Resta così determinato il campo elettrico in tutti i punti dello spazio.
Per il secondo punto ho sempre utilizzato il teorema di Gauss, facendo la seguente preliminare considerazione: il conduttore è ipotizzato (come da testo) in equilibrio elettrostatico per cui vale la relazione
$ vec(E)=0 $ all'interno del conduttore,
ed inoltre in conduttori in equilibrio elettrostatico la carica si distribuisce sempre e solo sulla superficie esterna del conduttore, quindi in questo caso la carica è distribuita superficialmente nel cilindro esterno di raggio $ R_2 + d $. Allora la densità di carica è:
$ sigma=Q/(2pi(R_2+d)h $ .
Per il campo elettrico, dato che il conduttore è in equilibrio elettrostatico risulta $ vec(E)=0 $ nella massa del conduttore (cioè nello spessore $ d $ della guaina) ed anche nella regione di spazio $ r<R_2 $ in quanto applicando il teorema di Gauss ad una qualsiasi gaussiana cilindrica all'interno di essa non ci sarebbero cariche essendo queste, come detto prima, distribuite sulla superficie esterna del cilindro più esterno. All'esterno della guaina ( $ r>R_2 $) grazie al teorema di Gauss
$ E2pirh=Q/(epsilon_0) $ ovvero
$ vec(E)=Q/(2pirhepsilon_0) vec(u)_r $. Risulta così determinato il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio con la nuova distribuzione di carica.
Il potenziale elettrostatico per $ r<R_2 $ risulta nullo come nell'asse in quanto, in condizioni di equilibrio elettrostatico non si misura mai tra due punti una differenza di potenziale diversa da zero (essendo anche nullo il campo elettrico in tale regione). Per $ r>R_2+d $
$ Delta V=-int_(R_2+d)^(r) Q/(2pirhepsilon_0) dr=V(r)-V(R_2+d) $ con $ V(R_2+d)=0 $ e quindi
$ V(r)=-Q/(2piepsilon_0h) ln(r/(R_2+d)) $
Su quest'ultimo punto ho dei dubbi.Cosa ne pensate?
Per il primo punto ho utilizzato il teorema di Gauss, considerando per le varie regioni di spazio gaussiane cilindriche dato la simmetria cilindrica del sistema.
Detto $ r $ il raggio della gaussiana per $ r>R_(1) $ sapendo che il campo elettrico data la simmetria è radiale risulta:
$ E2pirh=Q/epsilon_0 $ e quindi
$ vec(E)=Q/(2pirhepsilon_0) vec(u)_r $.
Per $ r<R_1 $ sfrutto ancora la simmetria cilindrica procedendo come prima però qui la carica all'interno della gaussiana non è $ Q $ ma è $ rho (pir^2h) $ ed applicando il teorema di Gauss:
$ E2pirh=(rhopir^2h)/(2epsilon_0) $ da cui
$ vec(E)=(rhor)/(2epsilon_0)vec(u)_r $.
Resta così determinato il campo elettrico in tutti i punti dello spazio.
Per il secondo punto ho sempre utilizzato il teorema di Gauss, facendo la seguente preliminare considerazione: il conduttore è ipotizzato (come da testo) in equilibrio elettrostatico per cui vale la relazione
$ vec(E)=0 $ all'interno del conduttore,
ed inoltre in conduttori in equilibrio elettrostatico la carica si distribuisce sempre e solo sulla superficie esterna del conduttore, quindi in questo caso la carica è distribuita superficialmente nel cilindro esterno di raggio $ R_2 + d $. Allora la densità di carica è:
$ sigma=Q/(2pi(R_2+d)h $ .
Per il campo elettrico, dato che il conduttore è in equilibrio elettrostatico risulta $ vec(E)=0 $ nella massa del conduttore (cioè nello spessore $ d $ della guaina) ed anche nella regione di spazio $ r<R_2 $ in quanto applicando il teorema di Gauss ad una qualsiasi gaussiana cilindrica all'interno di essa non ci sarebbero cariche essendo queste, come detto prima, distribuite sulla superficie esterna del cilindro più esterno. All'esterno della guaina ( $ r>R_2 $) grazie al teorema di Gauss
$ E2pirh=Q/(epsilon_0) $ ovvero
$ vec(E)=Q/(2pirhepsilon_0) vec(u)_r $. Risulta così determinato il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio con la nuova distribuzione di carica.
Il potenziale elettrostatico per $ r<R_2 $ risulta nullo come nell'asse in quanto, in condizioni di equilibrio elettrostatico non si misura mai tra due punti una differenza di potenziale diversa da zero (essendo anche nullo il campo elettrico in tale regione). Per $ r>R_2+d $
$ Delta V=-int_(R_2+d)^(r) Q/(2pirhepsilon_0) dr=V(r)-V(R_2+d) $ con $ V(R_2+d)=0 $ e quindi
$ V(r)=-Q/(2piepsilon_0h) ln(r/(R_2+d)) $
Su quest'ultimo punto ho dei dubbi.Cosa ne pensate?