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$ L=T-U $ e
$ H=T+U $ sono le funzioni lagrangiana ed hamiltoniana.
T è l'energia cinetica, U quella potenziale.
Ovviamente L e H hanno in genere valori diversi.

Ha senso fisico una situazione in cui H è costante ma L non lo è?

Grazie in anticipo

Certo, anzi quasi sempre succede. L'hamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema e pertanto in un sistema isolato si conserva ergo è costante nel tempo (andrebbero specificate un paio di condizioni "speciali", ma diciamo che nella maggior parte dei casi che si incontrano è così).

Prova per esempio a calcolare Lgrangiana ed Hamiltoniana per il moto di un grave in caduta libera, che succede an H ? ed a L?