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A partire dalle equazioni di Maxwell e dalle condizioni al contorno, si ricavi l’espressione (modulo, direzione e verso) del campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore carico in equilibrio. [Si consideri nota la densità di carica in ogni punto del conduttore.]

avreste una vaga idea di come rispondere a questa domanda teorica?
io direi modulo dato dalla prima equazione di maxwell, direzione ortogonale alla superficie e verso uscente de carica positiva e entrante se carica negativa

Nelle immediate vicinanze della superficie, il campo è quello di un piano indefinito, $ E = sigma/epsi_0$, che, come hai detto, si ricava dal teorema di Gauss, ossia la 1° eq. di Maxwell; direzione e verso idem, come pure hai detto.