Ho fatto delle ricerche, poiché non sono omnisciente, e ho trovato qualcosa. La situazione è la seguente:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quando il disco va a contatto col piano inclinato in A, si tratta a tutti gli effetti di un urto; in quest'urto, si conserva il momento angolare del disco, ma c'è perdita di energia. Ci interessa quindi trovare :
1) la velocità angolare del disco immediatamente dopo che è avvenuto l'urto, e il disco inizia a salire sul piano inclinato
2) la variazione dell'energia
Notiamo prima di tutto che, quando il disco poggia ancora sul piano orizzontale in B , il peso e la reazione del piano si fanno equilibrio. Poi il disco urta il piano inclinato in A , e la componente normale della reazione vincolare del piano è $A_N$ (v.figura) ; se scegliamo come polo proprio il punto A, e trascuriamo in prima istanza il momento del peso rispetto ad A ( come noto, quando c'è un urto si considerano, in quel momento, le sole forze impulsive), non ci sono altre forze in grado di dare momento rispetto ad A , cioè il momento totale delle forze esterne rispetto ad A è nullo, nel momento dell'urto . Questo vuol dire conservazione del momento angolare , prima e dopo l'urto, rispetto ad A . Scriviamo questa conservazione, riferendoci ai moduli dei vettori interessati, poiché il moto si svolge tutto nello stesso piano del disegno, assumendo che non ci sia slittamento (=rotolamento puro) del disco rispetto ai piani :
Momento angolare prima dell'urto : $ L_1 = mv_1rcos\alpha + I_gomega_1 = 1/2mr^2(1+2cosalpha)omega_1$
dopo la collisione , il momento angolare rispetto ad A è dato da :
$L_2 = mv_2r + I_gomega_2 = (mr^2 + mr^2/2) omega_2 = 3/2mr^2omega_2 $
dall'uguaglianza : $L_1 = L_2 $ si ottiene, con alcuni passaggi algebrici : $ omega_2 = 1/3omega_1(1+2cosalpha) $
e quindi la velocità con cui il centro del disco inizia a traslare parallelamente al piano inclinato è :
$ v_2 = v_1/3( 1 + 2cosalpha) $
inutile dire che , se $alpha>0$ , la quantità in parentesi è minore di 3 e quindi $v_2<v_1$ . Questo calcolo è valido , teoricamente , se il disco non ha alcun rimbalzo sul piano inclinato, o addirittura se non viene proprio bloccato dal piano stesso , come succederebbe per $alpha = 90º $ , caso in cui il disco ha un urto frontale con un muro verticale, e non gli resta che rimbalzare o invertire il moto traslatorio.
Vediamo l' energia cinetica prima e dopo l'urto , nella caso della figura. Si ha, prima dell'urto :
$K_1 = 1/2mv_1^2 + 1/2 I_g omega_1^2 =...= 3/4mr^2omega_1^2$
e dopo l'urto:
$K_2 =1/2mv_2^2 + 1/2 I_g omega_2^2 = ...= 1/(12) mr^2 (1+2cosalpha)^2 omega_1^2 $
Per vedere che c'è perdita di energia, anche nel caso semplice in cui il disco non rimbalza e si conserva il momento angolare, come detto all'inizio, troviamo la frazione di energia cinetica perduta nell'urto col piano :
$(K_2-K_1)/K_1 = 4/9( 1 + sen^2alpha - cos alpha) $
ovviamente per $alpha=0$ l'energia cinetica si conserva, come si verifica facilmente.
Poi , è ovvio che col tempo il momento della forza peso rispetto ad A fa rallentare il disco , come richiede la seconda equazione cardinale della dinamica.
Commenti e pareri ?
