Isotopo di Iridio ed effetto doppler per la luce

[SalvatCpo]

Se penso alla meccanica classica, per esempio ad un fucile, il rinculo è il movimento nel verso opposto a quello del proiettile che il fucile subisce subito dopo lo sparo a causa della conervazione della quantità di moto.
Penso che in questo problema la formula per l'energia cinetica sia quella classica perchè l'Iridio è piuttosto pesante e non me lo immagino a velocità elevatissime (fra l'altro difficili da provocare)

Per la luce, considerando la relatività speciale:
$ lamda_"oss"=sqrt((1+v/c)/(1-v/c))*lamda_"eme" $ dove v è la velocità della sorgente rispetto all'osservatore (e viceversa).
Vale inoltre la relazione $ |Delta lamda|/lamda=v/c $ .
L'effetto doppler classico per il suono (la più importante delle onde longitudinali) è:
$ f_"oss"=f_"eme"(c-v_"oss")/(c-v_"sor") $ dove Voss e Vsor sono positive se hanno lo stesso verso dell'onda.

Ora... come applico queste informazioni per la risoluzione del problema?...Io la prima domanda nemmeno l'ho capita (ovviamente il secondo punto è facile).


PS: oss sta per osservatore e sor per sorgente; f sta per frequenza.

[Shackle]

Questo esercizio di dinamica relativistica non mi sembra molto chiaro. Ad ogni modo, provo a dirti qualcosa, magari dopo ragionandoci su insieme ( e col contributo di qualche altro esperto!) arriviamo a capire meglio.

Abbiamo questo nucleo, inizialmente fermo nel riferimento del laboratorio ( che quindi in questo caso è anche il riferimento del centro di massa), il quale passa da uno stato eccitato allo stato fondamentale, emettendo un fotone, di energia nota, per cui rincula. Il testo dice di usare la conservazione del quadri-momento, o quadri-impulso.

Perciò devo chiederti (ma forse lo sai già , ad ogni modo vado avanti lo stesso) : sai che cosa è il 4-impulso di una particella di massa invariante $m$, in relatività? È un 4-vettore, con una componente temporale uguale a $E/c=gammamc $ , e tre componenti spaziali, che sono le componenti della quantità di moto relativistica $vecp = gammamvecv$. Quindi il Quadrimpulso è dato da:
$barP=(E/c,vecp) =(gammamc, gammamvecv)$ . Quando il moto avviene in una sola dimensione , possiamo fare a meno di considerare la velocità vettoriale , e usiamo direttamente lo scalare $v$ , ovvero : $p = gamma mv$ per la quantità di moto.

Come tutti i 4-vettori, la norma di $barP$ è un invariante relativistico :

$barP^2 = |barP|*|barP| = (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 \rarr P =mc $

quindi la massa $m$ in relatività non è altro (a meno di $c$) che la norma invariante del 4-impulso. Lo si poteva vedere anche applicando la definizione di $barP$ nel riferimento di quiete della particella, dove $v=0 $ e $gamma=1$. Si ha subito : $barP = (mc,0)$

Ma se usiamo l'altra definizione di $barP =(E/c,p) $ (senza segno di vettore, visto che siamo nel caso monodimensionale) , possiamo anche dire, sfruttando l'uguaglianza precedente, che :

$(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2 \rarr$

$E^2 = (pc)^2 + m^2c^4= (pc)^2 + (mc^2)^2$

e questa è la giusta espressione , per l'energia di una particella di massa $m$ ( e quindi , energia di quiete $mc^2$ ) , dotata di velocita $v$ ( e quindi quantità di moto $p = gamma mv$ ) rispetto al laboratorio.

Fatto questo rapido preambolo ( scusami se ho detto cose che forse già conosci), andiamo al nocciolo. LA massa nello stato eccitato, sia $M_e$, supponendo il nucleo in quiete nel laboratorio, e quindi rispetto all'osservatore, è maggiore della massa nello stato fondamentale, sia $M_f$ , perchè il nucleo deve emettere il fotone, di energia $e_gamma$, e deve acquistare una certa velocità, quindi una certa energia cinetica.

La conservazione dell'energia , che inizialmente è tutta energia di quiete, dice che :

$M_ec^2 = E_f + e_gamma$

d'altronde, sappiamo che il 4-impulso del fotone è dato da : $ barP_gamma = (e_\gamma/c , e_\gamma/c) $ , per cui la norma del 4-impulso del fotone è nulla , e la sua energia è uguale alla quantità di moto ( a meno di $c$ ) .
PEr la conservazione della quantità di moto del sistema , il nucleo rincula "back to back" rispetto al fotone, acquisendo una quantità di moto che vale, in modulo, ancora $e_\gamma/c$ .

Perciò , l'energia del nucleo dopo che ha emesso il fotone, per la formula prima vista , vale :

$E_f^2 = M_f^2c^4 + (pc)^2 =M_f^2c^4 + e_\gamma^2 $

Eliminando $E_f$ tra questa relazione e la precedente si ricava che l'energia del fotone è uguale a :

$ e_\gamma = (M_e^2-M_f^2)/(2M_e) c^2 $

e questa è minore di $(M_e-M_f) c^2$ , proprio perchè una parte si deve ritrovare come energia cinetica del nucleo dopo il rinculo. Ma per poter rispondere al quesito, vito che l'energia cinetica è data da :

$K = (gamma -1) mc^2$

dovremmo conoscere la massa , che non conosciamo...La massa ci servirebbe anche per determinare il fattore di Lorentz $gamma$ , poiché sappiamo la quantità di moto , che abbiamo detto essere in modulo uguale a quella del fotone ( che conosciamo , visto che conosciamo l'energia $e_\gamma$ data dal testo) . Infatti la quantità di moto vale $p = gammamc$ , e siamo sempre lí , al nodo della massa ...

Io perciò mi fermo qui; se hai qualche idea ...io ce l'avrei, e cioè determinare approssimativamente la massa nello stato fondamentale sapendo che il nucleo ha 77 protoni e 114 neutroni , e conoscendo le masse di questi in $(MeV)/c^2 $. Però non mi azzardo...

Comunque , sono essenzialmente d'accordo con te: la massa del nucleo è molto grande rispetto all'energia del fotone, ( ho fatto un conto a spanne nella maniera che ti ho detto ) , quindi non vale la pena considerare l'effetto Doppler relativistico e l'energia relativistica, sono sufficienti le formule classiche.

Spero di non aver detto troppe sciocchezze ....

[SalvatCpo]

Ho letto attentamente la tua risposta e quasi certamente è corretta considerando che la massa del protone e del neutrone sono forniti in un foglio a parte, insieme ad altre costanti, durante l'esame. Le caratteristiche dell'isotopo sono date dal testo del problema e quindi si calcola facilmente Me. Da questa si trova Mf tramite la formula in cui espliciti l'energia del fotone in funzione delle due Masse (senza scomodare la conoscenza di come è fatto lo stato fondamentale). Sei stato chiaro, grazie

[Shackle]

Prego. Aggiungo due cosette importanti, che avrai già capito.
Negli urti relativistici, come nei decadimenti, si conserva sempre tutto, cioè l’energia totale e la q.m. Totale, a differenza della meccanica classica. Si conserva quindi il 4-impulso totale, la cui norma è invariante, anche se le componenti naturalmente variano da un riferimento a un altro.
Quando trovi la massa del nucleo, ricordati che alla massa ottenuta come somma dei prodotti dei nucleoni per la massa unitaria devi sottrarre la massa mancante, che corrisponde all’energia di legame. Ho trovato in una dispensa che si tratta di circa 8 MeV per ogni nucleone.

Ti do il link a una buona dispensa, dove si trattano urti e decadimenti:
http://www.roma1.infn.it/cms/ric/cinematica.pdf

Guarda l’esercizio in cui una massa - madre M in quiete si divide in due masse figlie : M è maggiore della somma delle masse figlie, in quanto deve fornire loro anche L’ energia cinetica.

Nel tuo esercizio, nota la massa, devi trovare l’energia cinetica sia con la formula classica che con la relativistica, e vedere la differenza. Ma già il valore di $ gamma$ , che puoi sviluppare in serie, ti dice qualcosa . La stessa cosa con l’effetto Doppler : classico o relativistico, dipende da $v/c$.

[Shackle]

Aggiungo ancora questo, per maggior chiarezza . Ad un certo punto , ho detto che si può ricavare l'energia del fotone eliminando $E_f$ tra due espressioni, il passaggio è questo :

......
Eliminando $ E_f $ tra questa relazione e la precedente si ricava che l'energia del fotone è uguale a :

$ e_\gamma = (M_e^2-M_f^2)/(2M_e) c^2 $

e questa è minore di $ (M_e-M_f) c^2 $ , proprio perchè una parte si deve ritrovare come energia cinetica del nucleo dopo il rinculo.

Voglio precisare quale è questa parte, che si deve ritrovare come energia cinetica del nucleo tornato allo stato fondamentale dopo aver emesso il fotone . Basta sottrarre all'energia dello stato fondamentale l'energia di riposo :

$E_f - M_fc^2 $

e questa quantità deve essere uguale alla "energia di massa perduta" nel passaggio dallo stato eccitato alo stato fondamentale meno l'energia del fotone emesso $e_\gamma$ . Cioè deve essere:

$E_f - M_fc^2 = (M_e-M_f) c^2 - e_\gamma$

sostituendo qui l'espressione di $e_\gamma$ trovata, dopo alcuni passaggi algebrici di trova che questa quantità vale :

$c^2 ( (M_e - M_f)^2) /(2M_e) $

ho fatto ciò, in quanto ho trovato in rete lo stesso esercizio , che mostro qui :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

i simboli sono diversi, ma si può facilmente identificare i nostri simboli con quelli . Prima di ciò , noto che nella formula finale dell'esercizio si può fare qualche modifica algebrica :

$ \nu = \delta( 1 - \delta/(2m_0) ) rarr delta - nu = delta^2/(2m_0) $

È facile identificare quei simboli con i nostri, ponendo $c=1$ ( in questa ipotesi, massa e energia hanno lo stesso significato) :

$m_0$ corrisponde alla massa del nucleo eccitato $M_e$

$delta$ corrisponde a $M_e - M_f$

$nu$ corrisponde all'energia del fotone $e_\gamma$