Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 05/11/2019, 20:58

E' possibile che un corpo inizialmente fermo e soggetto a forza nulla inizi comunque a muoversi?
La fisica classica direbbe di no.
Tuttavia a volte la matematica va per la sua strada in apparente disaccordo con la fisica.
Per dimostrare ciò ho ideato il seguente esperimento.
Un corpo avente massa unitaria e immerso in un campo di accelerazione di gravità uniforme è vincolato a scivolare lungo una guida liscia avente forma $y=x^k$, come in figura.
Esistono valori di k per cui ciò che ho appena descritto accade.
Per confronto ho sviluppato anche il caso "normale" di $k=2$, che appare coerente con le leggi fisiche, e poi il caso $k=3/2$, che sembra invece violarle. Ogni considerazione è bene accetta.

(Nota1: per aggirare alcune difficoltà di integrazione del caso più generale, ho approssimato la funzione integranda con la formula di Taylor. Questo non invalida le conclusioni perché la parte interessante dell'esperimento riguarda proprio ciò che accade in prossimità dell'origine degli assi)

Nota2: è anche possibile che io abbia commesso qualche errore di calcolo o di interpretazione dei risultati, in tal caso chi riuscirà a segnalarmelo sarà un benemerito

Immagine
\[\begin{align}
& \text{Data una curva:} \\
& y={{x}^{k}} \\
& {y}'=k{{x}^{k-1}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1<k\quad {y}'\left( 0 \right)=0 \right] \\
& {y}''=k\left( k-1 \right){{x}^{k-2}}\quad \left[ 1<k<2\quad {y}''\left( 0 \right)\to \infty ;\quad k=2\quad {y}''\left( 0 \right)=2;\quad 2<k\quad {y}''\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Supponiamo di avere un corpo di massa unitaria vincolato a scivolare senza attrito lungo la curva}\text{,} \\
& \text{partendo dalla posizione x=0 y=0}\text{, inizialmente fermo e soggetto a un campo uniforme} \\
& \text{di accelerazione di gravita }\!\!'\!\!\text{ g}\text{.} \\
& {{E}_{p}}=gy={{E}_{k}}=\frac{1}{2}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}} \right)\quad \frac{{\dot{y}}}{{\dot{x}}}={y}'\quad 2gy=\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{x}}}^{2}}{{{{y}'}}^{2}} \right)\quad 2gy=\left( 1+{{{{y}'}}^{2}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \left[ y\left( 0 \right)=0\quad v\left( 0 \right)=0\quad \dot{x}\left( 0 \right)=0 \right] \\
& a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{d{{E}_{k}}}{dt}=\frac{g\dot{y}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}\dot{x}}=g\frac{{{y}'}}{\sqrt{1+{{{{y}'}}^{2}}}}=g\frac{k{{x}^{k-1}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}\quad \quad \quad \quad \quad \left[ a\left( 0 \right)=0 \right] \\
& \text{Risoluzione della equazione del moto:} \\
& 2g{{x}^{k}}=\left( 1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}} \right){{{\dot{x}}}^{2}} \\
& \sqrt{2g}\int_{0}^{t}{dt}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}{{{x}^{\frac{k}{2}}}}dx} \\
& \\
& S\text{i vuole indagare soltanto l }\!\!'\!\!\text{ andamento per x molto prossima allo zero}\text{.} \\
& \text{Per superare le difficolta }\!\!'\!\!\text{ di integrazione per k qualsiasi si approssima il numeratore} \\
& \text{della funzione integranda con la formula di Taylor:} \\
& \sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}\quad \text{derivata:}\quad \frac{{{k}^{2}}2\left( k-1 \right){{x}^{2k-3}}}{2\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{k}^{2}}\left( k-1 \right)\frac{{{x}^{2k-3}}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}{{x}^{2\left( k-1 \right)}}}}={{{{D}'}}_{k}}\left( x \right) \\
& k=2 \\
& {{{{D}'}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\quad {{{{D}'}}_{2}}\left( 0 \right)={{\left. \frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right|}_{0}}=0 \\
& {{{{D}''}}_{2}}\left( x \right)=\frac{4\sqrt{1+4{{x}^{2}}}-4x\frac{4x}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}}{1+4{{x}^{2}}}=\frac{4\left( 1+4{{x}^{2}} \right)-16{{x}^{2}}}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{4}{{{\left( 1+4{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\quad {{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)=4 \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}''}}_{2}}\left( 0 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1}{x}+2x}dx=\left[ \ln x+{{x}^{2}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}= \\
& =\ln \frac{x}{{{x}_{0}}}+\left[ {{x}^{2}}-{{x}_{0}}^{2} \right] \\
& \text{se }{{\text{x}}_{0}}\text{ tende a 0}\text{, t tende a }\infty \text{ qualunque sia x;} \\
& \text{questo succede perche }\!\!'\!\!\text{ in assenza di forza e} \\
& \text{velocit }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ iniziali il corpo resta fermo indefi-} \\
& \text{nitamente e non raggiunge mai la posizione x} \\
& k=\frac{3}{2} \\
& {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( x \right)=\frac{9}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}x}}\quad {{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)=\frac{9}{8} \\
& \sqrt{2g}t\simeq \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+{{{{D}'}}_{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{1+\frac{9}{8}x}{{{x}^{\frac{3}{4}}}}}dx=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{\left( 1+\frac{9}{8}x \right){{x}^{-\frac{3}{4}}}dx}=\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{x}^{-\frac{3}{4}}}+\frac{9}{8}{{x}^{\frac{1}{4}}}dx}= \\
& =\left[ 4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \right]_{{{x}_{0}}}^{x}=4\left( {{x}^{\frac{1}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{1}{4}} \right)+\frac{9}{10}\left( {{x}^{\frac{5}{4}}}-{{x}_{0}}^{\frac{5}{4}} \right) \\
& \text{per }{{x}_{0}}=0 \\
& \sqrt{2g}t=4{{x}^{\frac{1}{4}}}+\frac{9}{10}{{x}^{\frac{5}{4}}} \\
& \text{anche in assenza di forze e con velocita }\!\!'\!\!\text{ } \\
& \text{iniziale zero il corpo si muove e raggiunge la posizione x al tempo t} \\
& \\
& \text{Questo secondo risultato appare paradossale}\text{. Ma lo e }\!\!'\!\!\text{ davvero?} \\
\end{align}\]
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Gabrio » 05/11/2019, 22:02

Ma scusa dici non soggetto a forze esterne, e poi dici che e' in un campo gravitazionale.... il resto non l'ho letto.
Diceva Galileo: alcune persone girano le parole per fare confusione
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda dRic » 05/11/2019, 23:05

Ribadisco, dove sarebbe la forza nulla ? Sul corpo c'è una forza netta abbastanza ovvia...
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 05/11/2019, 23:19

Gabrio ha scritto:Ma scusa dici non soggetto a forze esterne, e poi dici che e' in un campo gravitazionale.... il resto non l'ho letto.
Diceva Galileo: alcune persone girano le parole per fare confusione

Bisognerebbe che tu interpretassi i calcoli per giudicare. Ma non serve che tu legga molto, basta che ti fermi alla seconda riga del calcolo, dove si dice che all'inizio della curva la derivata di y rispetto a x è zero. Ciò significa che all'inizio della curva questa ha tangente orizzontale, mentre il campo gravitazionale è ortogonale alla guida, dunque nessuna forza agisce sul corpo perché la forza peso, che è diretta nel verso y, è equilibrata dalla reazione d'appoggio ortogonale alla guida. Mentre nel verso longitudinale x non c'è alcuna forza che muova il corpo.

Oppure se questo discorso è troppo lungo e ti annoia, puoi limitarti a guardare la figura e intuire così che all'inizio della curva la forza peso è perpendicolare alla curva stessa, dunque non dovrebbe muovere il corpo.

Ovviamente la risposta vale anche per dRic

Ah, e poi non serve scomodare Galileo per accorgersi che molti giocano con le parole, basta ascoltare qualche politico in TV. :D
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Gabrio » 05/11/2019, 23:42

No guarda, non e' il caso di scomodare guide vincolanti.
In un sistema inerziale un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete.. visto che era fermo.
Il resto e' confusione
Qui se si muove e' soggetto a forze.
Se non sei d'accordo con questo, inutile continuare
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda mgrau » 06/11/2019, 00:10

Non mi pronuncio sui calcoli che sono troppo complicati per me.
Quando il corpo si trova in x = 0 si tratta evidentemente di una posizione di equilibrio instabile, questo sia per k = 2, o 3/2 o per altri valori.
Mi viene però una domanda: se la guida fosse simmetrica rispetto all'asse y, come si fa a determinare se scende a destra o a sinistra?
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 06/11/2019, 00:17

Gabrio ha scritto:No guarda, non e' il caso di scomodare guide vincolanti.
In un sistema inerziale un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete.. visto che era fermo.
Il resto e' confusione
Qui se si muove e' soggetto a forze.
Se non sei d'accordo con questo, inutile continuare

:roll:
Ascolta Gabrio, se non capisci il problema e quello che scrivo, lascia perdere.
E' vero che da molto tempo non partecipo a questo forum, ma se guardi bene noterai che sono advanced member; e se ci sono arrivato, secondo te, è perché ho scritto 2300 messaggi di cavolate? No di sicuro. Ho contribuito alla crescita di molti con le mie spiegazioni in questo forum, ho chiarito dubbi di studenti per anni. Poi mi sono stufato anche a causa dell'arroganza che ho notato crescere sempre più negli anni da parte di nuovi membri. E adesso scrivo solo per segnalare cose che trovo particolarmente strane e interessanti, sperando che mi risponda chi ha davvero intenzione di capire e di aprire un dibattito costruttivo.
Ho inserito questo post proprio per la stranezza di ciò che capita in un caso particolare, mica mi scomodo per postare un caso banale sai? Ma se non riesci a cogliere la singolarità di questo caso lascia libero il campo a chi la coglie. Grazie e buona serata.
Ultima modifica di Falco5x il 06/11/2019, 00:27, modificato 1 volta in totale.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 06/11/2019, 00:27

mgrau ha scritto:Non mi pronuncio sui calcoli che sono troppo complicati per me.
Quando il corpo si trova in x = 0 si tratta evidentemente di una posizione di equilibrio instabile, questo sia per k = 2, o 3/2 o per altri valori.
Mi viene però una domanda: se la guida fosse simmetrica rispetto all'asse y, come si fa a determinare se scende a destra o a sinistra?

Certo x=0 è un punto di equilibrio instabile, dunque basterebbe che il corpo venisse spostato anche di pochissimo dalla posizione di equilibrio per iniziare a muoversi. Ma qui io parlo di teoria, e in teoria un corpo situato con precisione matematica in un punto di equilibrio, anche se instabile, vi rimane fermo indefinitamente. Se la guida fosse simmetrica da che parte il corpo inizierebbe a scendere? tu chiedi. Dalla parte verso la quale venisse spostato di un infinitesimo, ti rispondo. Nessuno dei due versi è privilegiato a priori, dipende dalla condizione iniziale di velocità o di posizione.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda dRic » 06/11/2019, 00:38

TI giuro non capisco le equazioni del moto che hai scritto, però mi sembra ovvio che se hai un corpo in un punto di equilibrio instabile e lo sposti di un infinitesimo allora il corpo si mette in moto... Non colgo proprio il tuo dubbio e il senso di tutti calcoli.

PS: in particolare quel modo di scrivere l'accelerazione come derivata dell'energia... l'accelerazione è una quantità vettoriale, mentre l'energia una scalare... La cosa non mi convince. Detto questo sono propenso ad affermare che tu abbia fatto qualche operazione "illecita", anche se non ti saprei dire cosa perché non capisco cosa hai fatto (infatti già alla seconda riga mi sono perso)
Ultima modifica di dRic il 06/11/2019, 00:43, modificato 1 volta in totale.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 06/11/2019, 00:42

A essere del tutto sincero, preciso che io non credo affatto che un corpo fisico possa muoversi in assenza di forze. Il caso che ho postato, secondo me, sembra farlo perché a volte certe curve matematiche non hanno una corrispondenza fisica reale, dunque in certi casi matematica e fisica divergono. Ma questo è un argomento spinoso nel quale non ho certezze, lo propongo proprio perché spero di dialogarne con chi fosse disponibile al confronto.
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