Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Palliit » 07/11/2019, 15:57

@Falco5x: delle due forze agenti sulla particella, peso e reazione normale, soltanto quest'ultima ha componente significativa rispetto all'asse $x$, e l'equazione che ho scritto è rispetto alla sola componente $ddotx$ dell'accelerazione.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 17:16

Palliit ha scritto:@Falco5x: delle due forze agenti sulla particella, peso e reazione normale, soltanto quest'ultima ha componente significativa rispetto all'asse $x$, e l'equazione che ho scritto è rispetto alla sola componente $ddotx$ dell'accelerazione.

Scusa se insisto. Ho fatto un diagramma delle forze e delle accelerazioni. A mio modo di vedere l'accelerazione secondo x deve tenere conto sia della componente x della accelerazione normale che della componente x di quella tangenziale. Il che equivale a utilizzare la componente x della reazione normale, siamo d'accordo, la quale però rispetto alla proiezione sulla normale di g è decurtata a causa della accelerazione normale. Non lo sarebbe solo se la traiettoria fosse rettilinea.

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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Palliit » 07/11/2019, 17:37

Credo tu abbia ragione, non ho tenuto conto della curvatura della traiettoria. Ho toppato.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 17:41

Palliit ha scritto:Credo tu abbia ragione, non ho tenuto conto della curvatura della traiettoria. Ho toppato.

Poco male, tranquillo, può succedere. :wink:
Lavorare con le forze è un casino, per questo è meglio risolvere con l'energia e poi eventualmente ricavare le accelerazioni e le forze derivando i risultati.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 07/11/2019, 19:08

Ciao Falco5x. Purtroppo, quando ho scritto il mio messaggio precedente, a secondo membro ho confuso la variabile dipendente $s$ con la variabile indipendente $t$. Insomma, come hai giustamente osservato, non è sufficiente la continuità per assicurare l'unicità della soluzione. Bisognerebbe andare a rivedere la teoria almeno per quanto riguarda le equazioni differenziali del tipo:

$ddoty=f(y)$

Nel caso in cui valesse il teorema di unicità, almeno il caso in esame sarebbe risolto. Ad ogni modo, il fatto che, per $y=0$, il radicando si annulli:

$ddoty=g*sqrt(1-4/(root(3)((27y+8)^2))$

non è di buon auspicio. Grazie per avermelo fatto notare.
Ultima modifica di anonymous_0b37e9 il 07/11/2019, 19:16, modificato 1 volta in totale.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda mgrau » 07/11/2019, 19:15

Ma, Falco, fammi capire. Tu sostieni che non puoi costruire in legno la curvo $y = x^(3/2)$, perchè la sua derivata seconda va all'infinito all'origine? E' così?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Gabrio » 07/11/2019, 19:33

Se e' per questo sostiene di poter fare un limite in un punto isolato, e anche che una velocita' su una curva abbia solo modulo, o che un oggetto fermo in un sistema inerziale si muova da solo.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Shackle » 08/11/2019, 00:38

@Falco5x

alla luce delle giuste osservazioni che hai fatto a Palliit, sul fatto che c'è sia una accelerazione tangenziale che centripeta perchè la traiettoria è curva, dovresti modificare anche la figura messa all'inizio del thread, dove hai messo $veca$ tangente alla traiettoria. La seconda figura è quella giusta, non la prima ovviamente.
Inoltre, scrivi nel primo messaggio :

$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$ (1)

anche questo non va. L'accelerazione vettoriale è data da :

$veca = d/(dt) (vhatT) = (dv)/(dt) hatT + v( dhatT)/(dt) = (dv)/(dt) hatT + v^2/r hatN$

con ovvio significato dei simboli. Io non so quanto questo possa essere rilevante per la (1) scritta sopra , e per il prosieguo dei tuoi calcoli, perchè quella $a$ al primo membro della (1) è solo il modulo della accelerazione tangenziale , non è certo il modulo dell'accelerazione totale.

Inoltre, ponendo : $y = sqrt(x^3)$ ( quindi $k=3/2$ ) , e scomponendo la velocità vettoriale secondo i due assi, si ha :

$ vecv = (v_x,v_y) = ((dx)/(dt), (dy)/(dt))$

da cui si trova : $ v_y = (dy)/(dx)*(dx)/(dt) = 3/2sqrtx*v_x \rarr v_y/v_x = 3/2sqrtx = (dy)/(dx) $

e questo è ovvio. Volendo, si può poi trovare la relazione che intercorre tra le componenti cartesiane dell'accelerazione; se non ho sbagliato i conti, io trovo :

$veca = (a_x,a_y) $

$a_y = d/(dt) (3/2sqrtx * v_x ) =.......= (3v_x)/(4sqrtx) + sqrtx *a_x $

Prendendo per buona la tua soluzione minimale, mi vengono invece delle componenti cartesiane della velocità e dell'accelerazione diverse da queste....

Nel frattempo, continuo a disegnare grafici con Geogebra :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


la curva verde è la funzione data, quella azzurra è la derivata prima ( velocità) , quella in arancione è la derivata seconda. SE si orienta l'asse $y$ verso il basso , io credo che siano somiglianti alle curve ottenute da Palliit , limitate al primo quadrante. Lui ha usato un’altra funzione, ma più o meno siamo lì.
Non c'è alcun problema a tracciare la funzione, la f in verde.
Ultima modifica di Shackle il 08/11/2019, 07:37, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 08/11/2019, 06:33

Falco5x ha scritto:Non mi metto di sicuro a controllare la tua equazione differenziale, ti credo sulla parola.

Ho controllato più volte:

$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$

è sicuramente corretta. Ad ogni modo, alla luce della tua osservazione precedente:

Falco5x ha scritto:L'intuizione direbbe che sta fermo, come il corpo che ho messo io in cima alla guida liscia. Ma chi mi autorizza a scartare la seconda soluzione solo perché non mi piace? Io non parteggio per l'una o l'altra soluzione, trovo solo inquietante il fatto che in certi casi la matematica proponga soluzioni che sembrano fisicamente paradossali ma che non so se sono autorizzato a scartare.

sono pienamente d'accordo nell'argomentare considerando l'equazione differenziale più semplice che tu stesso hai proposto:

$ddot s=sqrts$

Io la metterei così. L'unica soluzione:
1. definita in un intorno di un istante in cui le derivate di ogni ordine sono nulle;
2. fisicamente accettabile.
è la soluzione costante. Per questo motivo:
$s=1/144t^4$

non essendo costante e avendo, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle, non è accettabile. Insomma, mi sembra il modo più semplice e indolore per limitare, nel caso in cui non valga il teorema di unicità, le soluzioni del modello matematico alle sole soluzioni fisicamente accettabili. Del resto, si tratta solo di accettare, nel caso in cui le condizioni iniziali impongano un'accelerazione nulla, la soluzione avente, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle.

P.S.
Peccato che:
$s=1/144t^4$

non abbia, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle. Pazienza, lascio il messaggio lo stesso.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 00:22

Shackle ha scritto:@Falco5x

alla luce delle giuste osservazioni che hai fatto a Palliit, sul fatto che c'è sia una accelerazione tangenziale che centripeta perchè la traiettoria è curva, dovresti modificare anche la figura messa all'inizio del thread, dove hai messo $veca$ tangente alla traiettoria. La seconda figura è quella giusta, non la prima ovviamente.
Inoltre, scrivi nel primo messaggio :

Caro Shackle, fermo restando che hai ragione sulle grandezze vettoriali, ti spiego la mia figura iniziale che è forse non rigorosa nelle notazioni ma ha un suo senso diciamo così... pragmatico.
Il tutto era finalizzato al calcolo mediante l'energia che è il più semplice. Mi spiego.
Come tu ricorderai penso bene, il buon Lagrange propose il suo modello pensando in prima battuta ai sistemi vincolati con vincoli lisci, e non parlò nemmeno di coordinate o vettori ma di gradi di libertà e di derivate parziali.
Ebbene io nel mio piccolo ho fatto qualcosa del genere, e a parte il simbolo di freccia che ho messo accanto alla lettera F (forza) e g (gravità), tutti i simboli hanno solo un significato scalare. Infatti si tratta di un sistema a un solo grado di libertà che può essere benissimo trattato come fosse un moto rettilineo, se si ha l'accortezza di considerare per lo spazio la coordinata s (ascissa curvilinea), come velocità la $\dot{s}$, e come accelerazione la $\ddot{s}$. Visto così semplicemente il sistema, l'unica forza che modifica la velocità, cioè uguale alla accelerazione, è la componente della forza esterna lungo la curva, cioè la forza tangenziale, quella che ho indicato con F.
In tal modo mi sono liberato di ogni considerazione vettoriale, ho calcolato l'energia cinetica uguagliandola alla energia potenziale, che dipende solo da y, e da questa ho derivato la velocità (in modulo). Poi il passaggio da s a x e da y a x è solo esercizio di analisi.
Diverso e più complicato sarebbe stato lavorare coi vettori, perché allora si sarebbe dovuto lavorare in due dimensioni, considerare la reazione normale della guida, l'accelerazione centripeta dovuta alla curvatura ecc. ecc.. Ma agli effetti del risultato sarebbero stati calcoli inutili, perché, come sai, le forze normali non modificano l'energia cinetica del corpo, ma producono solo curvatura della traiettoria, dunque non servono al calcolo di s(t). Poi il fatto che io abbia preferito arrivare a una relazione t(x) anziché t(s) l'ho fatto solo perché mi pareva che questo semplificasse la forma dell'integrale finale, ma questo è un dettaglio.
Dunque in questa ottica non mi sembra il caso di modificare il primo grafico, che ha il solo torto di mostrare in forma vettoriale anziché scalare l'unica forza F che varia il modulo della velocità, oltre che naturalmente la accelerazione g che rappresenta quel -gradiente di potenziale utile al calcolo energetico, e trascurare tutte le altre forze e accelerazioni normali non utili allo scopo del calcolo.
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