Falco5x ha scritto:Mi spiace ragazzi, ma non sono d'accordo con chi dice che la curva sia tracciabile.
Non voglio sembrare arrogante, ma secondo questa mi sa un po' di presa di posizione... Allora anche costruire un cerchio è impossibile perché lungo l'asse x avrei due punti a derivata infinita (tangente perpendicolare) oppure non sarei nemmeno in grado di costruire un triangolo perché la derivata di $y = |x|$ non esiste proprio in 0. Non ha senso secondo me.
Comunque, lasciamo da parte questo discorso. Credo di aver "scovato" l'errore nel tuo procedimento.
L'errore è che tu cerchi di risolvere le equazioni del moto
con condizioni iniziali nulle andando a cercare le soluzioni e ipotizzando che esse abbiano la forma $y = x^k$, ma in realtà $y = x^k$ sono soluzioni delle equazioni del moto
per diverse condizioni al contorno, ovvero condizioni non nulle. Mi spiego meglio.
$y = x^k$ è già una soluzioni delle equazioni di Newton. E' una soluzione implicita perché assume che, una volta calcolate $y = y(t)$ e $x = x(t)$ tu le abbia combinate eliminando la dipendenza dal tempo (un po' come quando risolvi il moto di un proiettile). Ma per risolvere un set di equazioni differenziali in $x(t)$ e $y(t)$ hai bisogno di condizioni al contorno! Quindi nel momento che tu sfrutti la relazione $y = x^k$ e la vai a sostituire dentro le eq di Newton (come hai fatto) stai implicitamente dicendo che le condizioni al contorno non sono più quelle che vuoi tu, ma sono quelle necessarie ad avere come soluzione $y = x^k$. Questo "false" condizioni al contorno prevedono appunto che l'accelerazione in zero diverga... cosa fisicamente non accettabile.
Infatti se ci pensi, l'esempio che hai proposto, nella sua stravaganza è coerentissimo: l'accelerazione in zero diverge ed infatti per mettere in moto un corpo fermo
senza applicare forze avresti bisogno di una accelerazione infinita.
In conclusione, il sistema
$$ m \frac {d^2 x}{dt^2} = F_x$$
$$ m \frac {d^2 y}{dt^2} = F_x$$
$$ \text { Condizioni iniziali: } x(0) = 0, y(0) = 0, \mathbf v(0) = 0, \mathbf a(0) = 0$$
$$ \text{ vincolo: } y = x^3/2 $$
ha come soluzione unica quella nulla ovvero x = y = 0. Se invece metti delle altre condizioni al contorno avrai come soluzione alle equazioni del moto una $x(t)$ e una $y(t)$ tale che $y = x^{3/2}$, tuttavia le condizione al contorno dovranno essere diverse! (Lo dice il teorema di unicità della soluzione... i matematici lo sapranno sicuramente meglio di me)
Allego un esempio che penso ti possa chiarire le idee circa la mia spiegazione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
prendiamo un oscillatore armonico
$$ m \ddot x = -kx$$
e poniamo il vincolo che $v(t = 0) = 0$
adesso proviamo a risolvere andando a sostituire il $x = A*sin(\omega*t)$. Facciamo tutti i conti e ci troviamo il nostro valore di $A$. Adesso però ci accorgiamo di un paradosso! Cavolo ma $\frac d {dt} sin(t) \right]_{t = 0} = 1$... Quindi la velocità non è zero! Ma allora non posso costruire un oggetto attaccato a una molla che parta da fermo!? Deve per forza partire in movimento?
Risposta: No! Abbiamo sbagliato a cercare soluzioni del tipo $x = sin(t)$ perché sono in disaccordo con le condizioni al contorno. La scelta giusta era $x = cos(t)$ e infatti, prendendo il coseno, tutto torna.
Non ho mai scritto così tanto in questo forum, ma sono cosciente che il ragionamento è un po' arzigogolato. Spero di chiarire una volta per tutti i tuoi dubbi, altrimenti me ne tiro fuori perché non so più dove andare a parare. Nel caso non ti abbia convinto spero qualcun altro possa aiutarti a fare luce sul problema. Ciao