Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda dRic » 07/11/2019, 13:28

Falco5x ha scritto:Allora, come verifica, io potrei però risolvere l'equazione differenziale del moto generale lungo quella traiettoria, mettendoci anche un punto di partenza generico e una velocità iniziale generica, se preferisci, e poi portando a zero queste condizioni iniziali scoprirei che il corpo resta fermo sulla sommità

Wrong. Se risolvi l'equazione del moto per un generico punto e poi fai il limite ti porti dietro le condizioni al contorno del generico punto. È ovvio che se risolvi le equazioni del moto per un punto diverso dalla sommità l'accelerazione iniziale è diversa da zero e quindi quando vai a fare il limite ti porti dietro questa inconsistenza. Quindi come approccio è scorretto. Matematicamente mi ricorda il caso di una successione di funzioni non assolutamente convergente e quindi non è possibile passare al limite, ma questo è solo un collegamento random, il mio punto l'ho già espresso più volte. Poi continuo a ribadire che affermare che la curva è intracciabile mi sembra una po' una assurdità e concordo con quello che hanno detto mgrau e Sergent.
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 07/11/2019, 13:50

Sono altre le funzioni "non tracciabili". Solo per fare un esempio, in un intorno dell'origine, $y=sin(1/x)$.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 13:57

dRic ha scritto:
Falco5x ha scritto:Allora, come verifica, io potrei però risolvere l'equazione differenziale del moto generale lungo quella traiettoria, mettendoci anche un punto di partenza generico e una velocità iniziale generica, se preferisci, e poi portando a zero queste condizioni iniziali scoprirei che il corpo resta fermo sulla sommità

Wrong. Se risolvi l'equazione del moto per un generico punto e poi fai il limite ti porti dietro le condizioni al contorno del generico punto.

Continuiamo a non capirci.
Se la soluzione generale che è una funzione t(x) contiene condizioni iniziali generiche, cioè x0 e v0, questi sono parametri per la soluzione generale, non variabili. La variabile resta sempre x. Dunque io porto a zero questi parametri, quindi la soluzione t(x) assume queste nuove condizioni iniziali.
Guarda la soluzione di Palliit che conteneva il parametro v0. Era una funzione in x. Ora se io porto a 0 quella v0 assumo questa v0=0 come nuova condizione iniziale. E la funzione di Palliit diventa uguale alla mia.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda dRic » 07/11/2019, 14:04

Ribadisco che la soluzione allora deve contenere x0, v0 e anche a0. a0 non lo vedo da nessuna parte quindi non mi convince.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Palliit » 07/11/2019, 14:41

Falco5x ha scritto:Tu che ne pensi della mia soluzione?

Ferme restando le critiche che ti ho esposto, trovo certi passaggi iniziali ingegnosi. Diciamo che arrivati a questo punto:

$sqrt(2g)dt=sqrt(1+k^2*x^(2k-2))/x^(k/2)dx$


io proverei (almeno per vedere se va meglio per trattare il caso che trovi critico, $k=3/2$) a taylorizzare invece di ospedalizzare: approssimazione per approssimazione, almeno non resta quella antiestetica radice che impedisce un'integrazione esatta come invece permette di fare uno sviluppo più consueto:

$sqrt(2g)dt approx x^(-k/2)*(1+1/2k^2*x^(2k-2))dx=(x^(-k/2)+1/2k^2x^(3/2k-2))dx$ ,


se ti fermi al prim'ordine; il secondo membro potrebbe in effetti dare problemi (potenze non positive, nella fattispecie) nel momento in cui si decidesse di integrarlo tra gli estremi $0$ ed $x$, a meno che ci si limiti a valori di $k$ compresi tra $2/3$ e $2$ :

$sqrt(2g)*t=2/(2-k)x^(1-k/2)+k^2/(3k-2)x^(3/2k-1)" "$,


che nel caso $k=3/2$ ti dà un'equazione piuttosto gestibile: $sqrt(2g)*t=4x^(1/4)+9/5x^(5/4)$. Se provi a graficarla arriverai di nuovo alla conclusione (illusoria, perché nasce dalle approssimazioni usate per arrivare a quel risultato) che il corpo è partito dall'origine con velocità nulla.


Sulla difficoltà di accettare come realizzabile la curva $y=x^(3/2)$ sono totalmente d'accordo con chi non è d'accordo con te :wink: .
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 07/11/2019, 15:18

L'equazione differenziale che governa l'ascissa curvilinea, $s=0$ nell'origine, è:

$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$

Poiché il secondo membro è una funzione continua in un intorno dell'origine, nessun problema ad integrare due volte. Ovviamente:

$s=0 rarr ddot s=0$

Insomma, se, per $t=0$, il corpo è in quiete nell'origine, rimane in quiete.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 15:21

Palliit ha scritto:Sulla difficoltà di accettare come realizzabile la curva $y=x^(3/2)$ sono totalmente d'accordo con chi non è d'accordo con te :wink: .

A me piace lavorare il legno, sono un discreto artigiano.
Prima di tagliare un profilo lo disegno al PC, lo incollo sulla tavola e poi lo taglio.
Se io volessi tagliare uno scivolo con quella forma $y=x(3/2)$ per fare sul serio l'esperimento, non ci riuscirei, perché a qualsiasi valore di scala per quanto piccolo io disegnassi la curva, mi verrebbe sempre una simil-parabola bella liscia anche sull'origine, tale che un corpo reale messo là in cima resterebbe bello fermo in equilibrio (anche se instabile) senza muoversi non essendo soggetto a forze. In nessun modo potrei tagliare uno scivolo che rispettasse quella bastarda condizione iniziale sulla derivata seconda. Questo voglio dire. Voglio dire che quella curva nel punto iniziale è una astrazione solo matematica, per questo la soluzione matematica porta a risultati paradossali.
Ma la pianto qua, non insisto e mi tengo i miei dubbi.
Il problema vero adesso è capire se quella soluzione che prevede il movimento matematico del corpo che parte da fermo sia o meno un paradosso o sia frutto di un errore di calcolo.
Ah a proposito, disaccordo per disaccordo... :D :D :D
Non mi pare che sia giusta quella relazione che tu hai scritto:
\[\ddot{x}=6g\frac{\sqrt{x}}{4+9x}\]
Facendo qualche passaggio scopro che è come se tu dicessi che la accelerazione lungo l'asse x è uguale alla accelerazione tangenziale alla curva (causata dalla gravità) proiettata sull'asse x.
Ma a me pare invece che tu abbia trascurato la accelerazione normale alla curva che pure esiste perché rende conto appunto della traiettoria curva. Non ci sarebbe solo se lo scivolo fosse rettilineo. Anche questa accelerazione normale ha una componente x che va sommata algebricamente alla precedente... o sbaglio?
Questo sistema delle forze è un ginepraio assurdo, io preferisco cento volte il metodo energetico (e con me credo fosse d'accordo anche Lagrange... :D ). Ciao :smt039
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Palliit » 07/11/2019, 15:33

@Falco5x: in realtà l'ho ottenuta prendendo la forza normale alla superficie, considerata opposta alla componente normale del peso, e proiettandola lungo l'asse $x$. Può ovviamente darsi che abbia fatto qualche casino con gli angoli...
Palliit
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Re:

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 15:43

anonymous_0b37e9 ha scritto:L'equazione differenziale che governa l'ascissa curvilinea, $s=0$ nell'origine, è:

$ddot s=g*sqrt(1-4/(root(3)((27s+8)^2))$

Poiché il secondo membro è una funzione continua in un intorno dell'origine, nessun problema ad integrare due volte. Ovviamente:

$s=0 rarr ddot s=0$

Insomma, se, per $t=0$, il corpo è in quiete nell'origine, rimane in quiete.

Benvenuto sergente.
Non mi metto di sicuro a controllare la tua equazione differenziale, ti credo sulla parola. :D
La conclusione però mi lascia qualche perplessità perché mi fa venire in mente un caso simile che per fortuna è facilmente integrabile.
Prendi la equazione seguente:
\[\ddot{s}=\sqrt{s}\]
A vederla si direbbe che la funzione identicamente nulla soddisfi tale equazione differenziale.
Ma non è l'unica soluzione.
Un'altra soluzione di quella equazione è la seguente:
\[s=\frac{1}{144}{{t}^{4}}\]
Provare per credere.
Allora: se questa equazione differenziale rappresenta ad esempio un campo di forza che cresce con la radice quadrata dell'ascissa, un corpo messo all'origine sta fermo o si muove secondo la relazione che ho scritto?
L'intuizione direbbe che sta fermo, come il corpo che ho messo io in cima alla guida liscia. Ma chi mi autorizza a scartare la seconda soluzione solo perché non mi piace? Io non parteggio per l'una o l'altra soluzione, trovo solo inquietante il fatto che in certi casi la matematica proponga soluzioni che sembrano fisicamente paradossali ma che non so se sono autorizzato a scartare.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 07/11/2019, 15:51

Palliit ha scritto:@Falco5x: in realtà l'ho ottenuta prendendo la forza normale alla superficie, considerata opposta alla componente normale del peso, e proiettandola lungo l'asse $x$. Può ovviamente darsi che abbia fatto qualche casino con gli angoli...

Se guardo la traiettoria del corpo esiste sia la accelerazione normale che quella tangenziale, e entrambe vanno proiettate sull'asse x mi sembra, ma è un po' complicato. Meglio ragionare sulla velocità $\dot{s}$ al quadrato e sulla energia potenziale, ne sono convinto. :D
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