DikDIkVanDIk ha scritto:Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero
Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.
Penso che stiate scherzando, signori, e parlo al plurale perchè Falco ha condiviso e ringraziato. Devo ripetere il mio punto di vista, per l'ultima volta? Lo ripeto, e se dite che prima ho fatto confusione faccio ammenda, ma non mi sembra proprio.
LA curva di equazione $y = sqrt(x^3)$ è definita per $x>=0$ , quindi anche nell'origine. Nell'origine è praticamente piatta, ha curvatura praticamente nulla e raggio di curvatura praticamente infinito.
Io l'ho disegnata con Geogebra, e vi prego di andare a guardarla. Ho disegnato anche la curva "derivata prima" e la curva "derivata seconda", sono sullo stesso grafico.
Però , Falco , la derivata seconda
NON È tutta la curvatura !!! C'è un denominatore di cui bisogna tener conto. Prendiamo un esempio banale , la parabola di equazione cartesiana :
$y=x^2$
la derivata prima vale : $ y' = 2x $ , per ogni $x$ . La derivata seconda vale : $y'' = 2 $
quindi, se la derivata seconda rappresentasse tutta la curvatura, dovrei dire che la parabola ha curvatura costante, indipendentemente dal punto in cui si considera !
Cassate siciliane, ovviamente!
C'è il denominatore, nell'espressione di $k=1/R$ , che mette le cose a posto, e vi prego di verificare da soli l'andamento della curvature della parabola al crescere di $x$. E cosí per tutte le curve.
se f''(x) tende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!
No, Falco, non sono d'accordo. Prova a calcolare la curvatura della curva di equazione : $y = sqrtx^3$, con la formula che abbiamo detto. Una cosa devo aggiungere, ed è questa : non so se le formule per le derivate che stiamo usando valgono anche all'estremo $0$ del dominio. Non vorrei ( anzi, vorrei! ) che un matematico mi smentisse, dicendo che non posso estendere delle formule valide in punti regolari a punti che regolari non sono, o per lo meno non mi sembrano. E allora si dovrebbe fare un passaggio al limite , per $x\rarr0$ , della formula della curvatura.
Ma che la curva cambi drasticamente la sua pendenza in un intorno infinitesimo dello zero (quanto infinitesimo? Dove avviene il cambiamento, e perché? ) , e il raggio di curvatura tenda a zero, e un punto materiale messo lí slitta sulla curva e si muove, come ha affermato il nuovo arrivato...be'... per me è totalmente assurdo. Un punto materiale messo sulla curva in $O$ non si muove da solo.
Io non scriverò più nulla in questo 3D , perche non farei altro che ripetermi. Saluti a tutti, sul serio.