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Salve, per definizione due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione.
Negli esercizi si sostituiscono circuiti equivalenti all'interno di un altro circuito, ad esempio:




Risolvo il secondo circuito ottenendo la tensione in R23 ed uso la stessa tensione nel primo circuito per calcolare R2 e R3. Non mi è chiaro perchè posso usare la stessa tensione visto che i circuiti sono diversi ed hanno differenti equazioni di Kirchhoff.
Come faccio a dimostrare in modo rigoroso, partendo dalla definizione di circuiti equivalenti data sopra, che in generale è lecito portare la tensione ai capi di due sottocircuiti equivalenti collegati con un circuito dello stesso tipo?

Non mi è chiaro perchè posso usare la stessa tensione visto che i circuiti sono diversi...

Puoi usare la stessa tensione, perchè nel circuito di sinistra le due resistenze $R_2$ ed $R_3$ sono in parallelo, e ai capi di due resistenze in parallelo c'è la stessa tensione.

Ai capi di due resistenze in parallelo c'è sempre una sola tensione ma perchè la tensione del secondo è uguale al primo?

Chi sarebbe il secondo ? Il circuito di destra ? Hai trovato $R_(23) $ , che è la resistenza equivalente alle due resistenze in parallelo del primo circuito ? Si, e per trovare la resistenza equivalente si parte proprio dalla uguaglianza della tensione, nei due circuiti.

Si esatto il secondo è quello di destra. Chi mi assicura che le tensioni sono uguali? Di fatto sono due circuiti distinti che hanno un pezzo interno tra loro equivalenti secondo la definizione data. Qual è il passaggio logico che mi dice che se io risolvo i due circuiti le tensioni a capi di R2, R3 nel primo ed i R23 nel secondo sono uguali?
Sono comunque interessato a una dimostrazione rigorosa che vale in generale, l'esercizio che ho dato è solo un esempio.

La parte a sinistra (generatore e $R_1$) è la stessa nei due casi; le parti a destra sono equivalenti ovvero si comportano esattamente allo stesso modo rispetto al mondo esterno (altrimenti cosa significa "equivalenti" ? ) quindi in entrambi i casi le due parti sono le "stesse", di conseguenza anche il comportamento ed i vari parametri saranno gli stessi.

"si comportano esattamente allo stesso modo rispetto al mondo esterno"
Potresti dare una definizione più rigorosa e comunque equivalenti se non erro dovrebbe essere la definizione che ho dato.
La tua definizione di equivalenza può essere ricavata dalla mia?

Appunto, l'hai detto tu!
"Equivalenti" significa che per il mondo esterno al rettangolo tratteggiato è indifferente ciò che esso contiene.

Ho dato di definizione di equivalenza nel messaggio iniziale. Bisogna definire esattamente cosa vuol dire "il mondo esterno al rettangolo tratteggiato è indifferente ciò che esso contiene." e poi eventualmente fare una dimostrazione che è possibile fare le sostituzioni con circuiti equivalenti.

Non è necessario.
Se sostituisco un pezzo di circuito (qualsiasi esso sia) con un altro pezzo ad esso equivalente, ciò significa che il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni).

Nel momento che dici "equivalente" affermi questo. Punto.
Non confondere questo con il dimostrare che un circuito è "equivalente" ad un altro.

Cordialmente, Alex