Esercizio sull'effetto Doppler

[jakojako]

Salve a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Due automobili viaggiano alla medesima velocità ma in direzioni opposto. Ad un certo istante una delle due vetture emette un suono con una frequenza di $205Hz$ e l'altra lo riceve con una frequenza di $192Hz$. Si determini la velocità delle due automobili."

Ho risolto l'esercizio ricorrendo alle seguente formula:
$f'=\left(\frac{v_{suono}-v_{o}}{v_{suono}-v_{s}}\right)f,$
con chiaro significato delle lettere impiegate.
Mi chiedo però perché non potrei risolvere l'esercizio considerando una delle due auto come una sorgente ferma e l'altra con velocità doppia rispetto a quella da determinare, cioè:
$f'=\left(\frac{v_{suono}-2v_{o}}{v_{suono}}\right).f$
Il risultato ovviamente non coincide, ma vorrei trovare una spiegazione teorica valida che confuta quanto detto.
Grazie mille a chi risponderà!

[mgrau]

Perché qui, in gioco, ci sono tre attori non due: c'è anche l'aria come mezzo in cui si propaga il suono

[jakojako]

Purtroppo non sto capendo il tuo appunto, o meglio, perché nella formula corretta non mi preoccupo degli effetti dell'aria e nella seconda invece dovrei preoccuparmene? Cosa mi sta sfuggendo?
Grazie mille!

[mgrau]

Quando si studia l'effetto Doppler con sorgente ferma e ricevitore in moto si trova che il ricevitore percepisce una frequenza diversa rispetto all'emittente.
Se invece è la sorgente che si muove, quello che varia è la lunghezza d'onda.
Già il fatto che ci siano due trattazioni diverse deve far capire che il principio di relatività non è applicabile; e questo perchè abbiamo a che fare con un mezzo trasmissivo - l'aria - che fa da riferimento assoluto per il suono, e fa sì che le due situazioni non siano equivalenti.
La tua prima formula - quella giusta - combina i due casi di sorgente e ricevente in moto; la seconda mette tutto il moto relativo a carico di uno dei due, ma così appunto dimentichi il riferimento assoluto, che rende i due attori non intercambiabili.

[jakojako]

Grazie mille per la risposta! Se sei un esperto di onde, potrei porti un'altra domanda circa le onde stazionarie?

[mgrau]

Prova...

[jakojako]

In realtà, sarebbero due ora che ci penso bene e non sono correlate fra loro.
1. Innanzitutto vorrei chiederti della frequenza dei battimenti: la frequenza dei battimenti è la frequenza con cui varia l'intensità delle onde, una grandezza legata all'ampiezza delle stesse. L'onda risultante di due onde con frequenza pari rispettivamente a $f_1$ ed $f_2$, eliminando la dipendenza spaziale, ha equazione
$y=2A*cos(2\pi(\frac{f_1-f_2}{2})t)*cos(2\pi(\frac{f_1+f_2}{2})t).$
L'ampiezza è data da $2A*cos(\frac{f_1-f_2}{2}t)$. Se calcolo il periodo di questa funzione ottengo
$T=\frac{2\pi}{|2\pi\frac{f_1-f_2}{2}|}\Rightarrow T=\frac{2}{|f_1-f_2|}\Rightarrow f=\frac{|f_1-f_2|}{2}.$
Sui testi che ho in esame, invece, è riportato che la frequenza dei battimenti è $f=|f_1-f_2|$. Posso chiederti dove il mio ragionamento è fallace?
2. Sul testo in esame l'equazione di un'onda è descritta in questa maniera: $y=Acos(\omega*t-k*x)$. Nel descrivere l'onda risultante di due onde, una delle quali progressiva e un'altra regressiva, che si propagano su una fune con estremi fissati, devo necessariamente scrivere le due onde come onde sinusoidali: $y=Asin(k*x-\omega*t)+Asin(k*x+\omega*t)$. Credo che sia abbastanza intuitivo che le onde siano sinusoidali, ma devo, tra le altre cose, riscrivere necessariamente la fase come $k*x\pm \omega*t$ per applicare le formule di prostaferesi e quindi ottenere il risultato desiderato. Come mai necessito di questo "cambio di segno" che sulla funzione seno ha degli effetti evidenti, al contrario della funzione coseno?
Scusa la prolissità e spero che saprai aiutarmi.
Grazie mille!

[mgrau]

L'ampiezza è data da $2A*cos(\frac{f_1-f_2}{2}t)$. Se calcolo il periodo di questa funzione ottengo
$T=\frac{2\pi}{|2\pi\frac{f_1-f_2}{2}|}\Rightarrow T=\frac{2}{|f_1-f_2|}\Rightarrow f=\frac{|f_1-f_2|}{2}.$
Sui testi che ho in esame, invece, è riportato che la frequenza dei battimenti è $f=|f_1-f_2|$. Posso chiederti dove il mio ragionamento è fallace?

Come può l'ampiezza andare in negativo, come accade con la tua funzione? Dovrei riguardare la faccenda, ma mi sembra che devi considerare il modulo di quella funzione, che non è più una sinusoide, ma ha frequenza doppia

2. Sul testo in esame l'equazione di un'onda è descritta in questa maniera: $y=Acos(\omega*t-k*x)$. Nel descrivere l'onda risultante di due onde, una delle quali progressiva e un'altra regressiva, che si propagano su una fune con estremi fissati, devo necessariamente scrivere le due onde come onde sinusoidali: $y=Asin(k*x-\omega*t)+Asin(k*x+\omega*t)$. Credo che sia abbastanza intuitivo che le onde siano sinusoidali, ma devo, tra le altre cose, riscrivere necessariamente la fase come $k*x\pm \omega*t$ per applicare le formule di prostaferesi e quindi ottenere il risultato desiderato. Come mai necessito di questo "cambio di segno" che sulla funzione seno ha degli effetti evidenti, al contrario della funzione coseno?

non "per applicare le formule di prostaferesi", ma perchè sono onde che si propagano in direzioni opposte. $kx - omega t$ è un'inda che va verso le x positive, e $kx + omega t$ va a rovescio.
E in che senso "effetti evidenti" sulla funzione seno? Guarda che non cambi di segno all'intero argomento, ma solo alla componente temporale.

[jakojako]

Per quanto riguarda la prima domanda, ti ho riportato semplicemente quello che è scritto sul testo. Per cui sono saprei come controbattere alla tua risposta.
Per quanto riguarda la seconda domanda, hai ragione, sono andato un attimo in confusione. Ma comunque, se applicassi le formule di prostaferesi alle funzioni $Asin(\omega*t-k*x)$ e $Asin(\omega*t+k*x)$ otterrei:
$y=2Asin(\omega*t)cos(k*x)$.
Avrei quindi la dipendenza spaziale sulla funzione coseno e non saprei più come procedere. Infatti dovrei annullare la funzione coseno in corrispondenza delle estremità della corda per trovare lunghezza e d'onda e relativa frequenze. Ma a quel punto non mi troverei più con le formule. Ecco qual è il mio problema.

[mgrau]

Avrei quindi la dipendenza spaziale sulla funzione coseno e non saprei più come procedere. Infatti dovrei annullare la funzione coseno in corrispondenza delle estremità della corda per trovare lunghezza e d'onda e relativa frequenze. Ma a quel punto non mi troverei più con le formule. Ecco qual è il mio problema.

Qual è esattamente il problema? Annullare il coseno ai due capi? Ma è cosa nota che le onde stazionarie su una corda possono avere solo certe lunghezze d'onda