Matematicamente.it

Ciao ragazzi, ho fatto un esercizio su una distribuzione lineare di carica ma ho dei dubbi. L'esercizio è questo:

Una distribuzione lineare di carica è distribuita lungo un arco di circonferenza con legge λ = λo cosθ (vedi figura). Calcolare:
A) La carica complessiva posseduta dall’arco

Ho fatto: $ 1/(4pi\varepsilon0) int_(-r)^(r) lambda /r^2 dl $

B) Il potenziale elettrostatico (rispetto all’infinito) nel punto o centro della circonferenza

\( V(O)=1/(4pi\varepsilon0)\int_{0}^{r} \lambda/r, dx \)

C) Le componenti del campo elettrostatico nel punto o centro della circonferenza ( scrivere l’integrale e cercare di risolverlo, è disponibile una tabella di integrali)

$ Ex=1/(4pi\varepsilon 0)\int_{-r}^{r} (\lambda cos\alpha)/sqrt(r^2+r^2) \, dx

Ey=1/(4pi\varepsilon 0)\int_{-r}^{r} (\lambda sen\alpha)/sqrt(r^2+r^2) \, dx $

con $ alpha =r/sqrt(r^2+r^2) $






Vi ringrazio in anticipo per il vostro prezioso aiuto, che mi sta aiutando davvero tanto!

MarkS3 ha scritto:Ciao ragazzi, ho fatto un esercizio su una distribuzione lineare di carica ma ho dei dubbi. L'esercizio è questo:

Una distribuzione lineare di carica è distribuita lungo un arco di circonferenza con legge λ = λo cosθ (vedi figura). Calcolare:
A) La carica complessiva posseduta dall’arco

Ho fatto: $ 1/(4pi\varepsilon0) int_(-r)^(r) lambda /r^2 dl $

E perche' ?
E' un arco di circonferenza... tu integri sul raggio... onestamente non capisco il perche'.

Quinzio ha scritto:

MarkS3 ha scritto:Ciao ragazzi, ho fatto un esercizio su una distribuzione lineare di carica ma ho dei dubbi. L'esercizio è questo:

Una distribuzione lineare di carica è distribuita lungo un arco di circonferenza con legge λ = λo cosθ (vedi figura). Calcolare:
A) La carica complessiva posseduta dall’arco

Ho fatto: $ 1/(4pi\varepsilon0) int_(-r)^(r) lambda /r^2 dl $

E perche' ?
E' un arco di circonferenza... tu integri sul raggio... onestamente non capisco il perche'.

Effettivamente...
Seguendo un esempio dal libro avevo pensato così, però quell'esempio si riferiva a una barretta.
Avrei dovuto integrare tra 0 e r ...?

MarkS3 ha scritto:

Avrei dovuto integrare tra 0 e r ...?

No, devi integrare sull'angolo $theta$ (ma, mancando la figura, non si sa quali sono gli estremi)

mgrau ha scritto:

MarkS3 ha scritto:

Avrei dovuto integrare tra 0 e r ...?

No, devi integrare sull'angolo $theta$ (ma, mancando la figura, non si sa quali sono gli estremi)

Mi sa che mi sono completamente dimenticato di caricala
Eccola

A) Dividi l'arco in tanti pezzettini ciascuno di lunghezza infinitesima $ds = r d\theta$ ($d\theta$ è l'angolo sotteso), la carica su ciascuno sarà $dq = \lambda ds = \lambda_0 \cos(\theta) r d\theta$ (quindi su pezzettini diversi ci sarà una carica diversa, maggiore su quelli più vicini all'asse x).

La carica totale sarà data dalla somma di tutti questi contributi $dq$, cioè $Q = \int dq = \int_{0}^{\pi/2} \lambda_0 \cos(\theta) r d\theta = \lambda_0 r$.

Per il potenziale puoi fare un ragionamento simile se sai qual è il potenziale di una carica puntiforme...

marco.ve ha scritto:A) Dividi l'arco in tanti pezzettini ciascuno di lunghezza infinitesima $ds = r d\theta$ ($d\theta$ è l'angolo sotteso), la carica su ciascuno sarà $dq = \lambda ds = \lambda_0 \cos(\theta) r d\theta$ (quindi su pezzettini diversi ci sarà una carica diversa, maggiore su quelli più vicini all'asse x).

La carica totale sarà data dalla somma di tutti questi contributi $dq$, cioè $Q = \int dq = \int_{0}^{\pi/2} \lambda_0 \cos(\theta) r d\theta = \lambda_0 r$.

Per il potenziale puoi fare un ragionamento simile se sai qual è il potenziale di una carica puntiforme...

Innanzitutto grazie per la risposta. Ho capito.
Allora so che il potenziale di una carica puntiforme è $ V=q/(4pi\varepsilon_0r) $
Quini facendo un analogo ragionamento e considerando la divisione dell'arco in tanti pezzettini

$ V=int_(0)^(pi/2) (lambda_0cos(theta)rd theta)/(4pi\varepsilon _0r) dx $

È corretto?

Stai attento che stai integrando rispetto a $\theta$, quindi il $dx$ non c'entra niente; per il resto mi pare corretto, resta solo da svolgere l'integrale.

Per il campo elettrico il ragionamento è dello stesso tipo, ma devi calcolarti le componenti una per volta.

marco.ve ha scritto:Stai attento che stai integrando rispetto a $\theta$, quindi il $dx$ non c'entra niente; per il resto mi pare corretto, resta solo da svolgere l'integrale.

Per il campo elettrico il ragionamento è dello stesso tipo, ma devi calcolarti le componenti una per volta.

Quindi per il campo elettrico ho trovato la componente x:
$ E_x= int_(0)^(pi/2) (lambda_0cos(theta)r)/(4pi\varepsilon_0r^2) d(theta) $

Giusto?

Per la componente y, è uguale alla x?

Se la carica fosse distribuita in modo uniforme allora sarebbe $E_x = E_y$ per simmetria; in questo caso, invece, dovresti aspettarti $|E_x| \gt |E_y|$.

Nell'integrale ti sei dimenticato di considerare solo la componente lungo l'asse x di $dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2}$, infatti $dE_x = dE(-cos\theta)$ (il meno tiene conto del verso del campo, se $\lambda_0 \gt 0$ dev'essere $dE_x \lt 0$, se $\lambda_0 \lt 0$ dev'essere $dE_x \gt 0$).