Disco, filo ideale e punto materiale - esercizio

Buonasera,

Ho una domanda su questo esercizio secondo me istruttivo:





Ho un piano scabro ed inclinato di un angolo $vartheta=pi/6$ ed un disco di massa $M$ che si muove compiendo rotolamento puro.
Attorno al disco abbiamo avvolto un filo ideale, al cui estremo è collegato un punto materiale di massa $m=2M$.

Viene chiesto di trovare l'accelerazione angolare del disco e il valore della tensione della fune nell'istante iniziale.
L'esercizio potrebbe essere "semplicemente" risolto applicando la seconda cardinale nel punto di contatto, tuttavia ci è stato vivamente consigliato di risolverlo anche in un altro modo: applicando la seconda cardinale nel centro del disco.

Come si vede dalla foto, ho posto un sistema di riferimento inclinato come il piano per il moto del disco ed uno lungo la verticale per il moto del punto materiale.
Chiamando $F_a$ la forza di attrito, $phi$ l'angolo di rotazione del disco e $T$ la tensione della fune,
io ho scritto:

- seconda cardinale nel centro del disco $rarrI_Gddot(phi)= RF_a - RT$

- moto del punto materiale $rarr 2Mddot(y)'= 2Mg-T$

- prima cardinale lungo $x$ del disco $rarr Mddot(x)= Mgsin(vartheta)-F_a+Tsin(vartheta)$

- relazione cinematica di rotolamento puro $rarr ddot(x)=Rddot(phi)$

- relazione cinematica tra punto materiale e rotolamento disco $rarr ddot(y)'= -Rddot(phi)$


Da cui ricavo:

$ { ( I_oddot(phi)=R(F_a-T) ),
( T=2Mg+2MRddot(phi) ),
( F_a=Mgsin(vartheta)+Tsin(vartheta)-MRddot(phi) ):}} $

Domande:

1) da queste equazioni si giunge ad un risultato sbagliato. Qualcuno sarebbe in grado di capire dove ho sbagliato?

2) nella via più semplice, ovvero quando calcolo la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto:

$I_C ddot(phi) =RMgsin(vartheta) - bT$

avrei un problema.
Ho chiamato $b$ il braccio della forza $T$.
Qualcuno sarebbe in grado di mostrarmi come calcolare $b$?

3) Se $m$ fosse uguale ad un valore diverso $tilde(m)$ che permetta l'equilibrio del sistema, quanto varrebbe la reazione vincolare $N$ del piano inclinato?

$N= Mgcos(vartheta) + tilde(m)gcos(vartheta)$

?

Ultima modifica di anonymous_b7df6f il 22/01/2020, 22:29, modificato 3 volte in totale.

L'esercizio potrebbe essere "semplicemente" risolto ...

Ho l'impressione che tu abbia dei problemi nel determinare la relazione cinematica tra l'accelerazione angolare $\alpha$ del disco e l'accelerazione lineare $a$ del punto materiale diretta lungo la verticale. Tra l'altro, se il problema è quello di cui sopra, non si comprende come tu possa evitarlo prendendo come polo il punto di contatto. Infatti, anche in questo caso, avendo due equazioni in tre incognite:

$[3/2MR^2\alpha=MgRsin\theta-TR(1-sin\theta)] ^^ [2Ma=2Mg-T]$

devi determinare la relazione tra $\alpha$ e $a$.

Ho l'impressione che tu abbia dei problemi nel determinare la relazione cinematica tra l'accelerazione angolare $\alpha$ del disco e l'accelerazione lineare $a$ del punto materiale diretta lungo la verticale. Tra l'altro, se il problema è quello di cui sopra, non si comprende come tu possa evitarlo prendendo come polo il punto di contatto.

La relazione l'ho scritta:

$ddot(y)'= -Rddot(phi)$

dove $ddot(y')$ è l'accelerazione del punto materiale lungo la verticale, per capire bene cosa intendo meglio guardare la figura.

$[3/2MR^2\alpha=MgRsin\theta-TR(1-sin\theta)] ^^ [2Ma=2Mg-T]$

Come hai fatto a dire che $b= R(1-sin(vartheta))$ ?
Potresti mostrarmelo?

Domande:

1) da queste equazioni si giunge ad un risultato sbagliato. Qualcuno sarebbe in grado di capire dove ho sbagliato?

2) nella via più semplice, ovvero quando calcolo la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto:

$I_C ddot(phi) =RMgsin(vartheta) - bT$

avrei un problema.
Ho chiamato $b$ il braccio della forza $T$.
Qualcuno sarebbe in grado di mostrarmi come calcolare $b$?

3) Se $m$ fosse uguale ad un valore diverso $tilde(m)$ che permetta l'equilibrio del sistema, quanto varrebbe la reazione vincolare $N$ del piano inclinato?

$N= Mgcos(vartheta) + tilde(m)gcos(vartheta)$

?

Domanda 2. b lo calcolerei come nella figura sotto.
Domanda 3. ok quello che hai scritto
Domanda 1. Mi sembra che hai scritto le equazioni in modo corretto. Prova a calcolare l'accelerazione angolare con i due approcci usando solo i dati del problema. riporta qui i passaggi. I risultati dovrebbero essere identici.

Domanda 2. b lo calcolerei come nella figura sotto.
Domanda 3. ok quello che hai scritto
Domanda 1. Mi sembra che hai scritto le equazioni in modo corretto. Prova a calcolare l'accelerazione angolare con i due approcci usando solo i dati del problema. riporta qui i passaggi. I risultati dovrebbero essere identici.

Per quanto riguarda $b$, grazie mille ralph86, non riuscivo a vedere che il braccio $b$ è uguale al segmento orizzontale che congiunge il punto di contatto con la verticale passante per $G$.
Non so come mai non sono riuscita a vederlo.

Per quanto riguarda l'esercizio, ho sbagliato ad impostare la relazione cinematica tra l'accelerazione del punto materiale e la rotazione del disco.
Me lo ha gentilmente mostrato professorkappa.

Dal momento che il punto materiale è collegato al disco tramite un filo ideale, il punto materiale si muoverà con la stessa velocità del punto $P$ (del disco) da cui "cade" il filo.
Bisogna dunque scrivere, grazie alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, la velocità del punto $P$.
Dopo averla scritta, la deriverò ed otterrò l'accelerazione del punto $P$ in funzione di $phi$.
Tale accelerazione è uguale all'accelerazione del punto materiale.

Per essere precisi "La velocita' del punto P proiettata sulla verticale", perche la velocita' di P non e' verticale (lo sarebbe se il disco fosse su un piano orizzontale, ma non e' questo il caso)

Per essere precisi "La velocita' del punto P proiettata sulla verticale", perche la velocita' di P non e' verticale (lo sarebbe se il disco fosse su un piano orizzontale, ma non e' questo il caso)

Esatto, grazie per la precisazione professorkappa.

Nell'altro post che hai pubblicato, simile a questo, non devi fare la proiezione perché, a differenza di questo, c'è la carrucola che aggiusta tutto, trasmettendo l'accelerazione e dunque la velocità. Fattelo spiegare però da qualcun altro perché io ho paura di dirti qualche cavolata.
Dai un occhio anche a questo mio post se ti va:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=205720

Per quanto riguarda l'esercizio, ho sbagliato ad impostare la relazione cinematica tra l'accelerazione del punto materiale e la rotazione del disco.
Me lo ha gentilmente mostrato professorkappa.

Dal momento che il punto materiale è collegato al disco tramite un filo ideale, il punto materiale si muoverà con la stessa velocità del punto $P$ (del disco) da cui "cade" il filo.
Bisogna dunque scrivere, grazie alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, la velocità del punto $P$.
Dopo averla scritta, la deriverò ed otterrò l'accelerazione del punto $P$ in funzione di $phi$.
Tale accelerazione è uguale all'accelerazione del punto materiale.

Sono d'accordo che il moto della massa appesa al filo sara' nel tempo quello di una sorta di pendolo che oscilla con lunghezza che si accorcia man mano che il cilindro rotola verso il basso e che allo stesso tempo si muove verso destra seguendo il disco. Sono quindi d'accordo che durante questo complicato moto la massa avrà' in generale una accelerazione che non e' sempre allineata col peso.
Tuttavia, il problema che tu hai proposto richiede di calcolare "accelerazione angolare del disco e il valore della tensione della fune nell'istante iniziale". In questo istante l'accelerazione della massa appesa al filo e' allineata col peso e data dalla formula che tu hai scritto $ddot(y)'= -Rddot(phi)$. Quindi ripeto che il tuo approccio mi sembra corretto. Ti invito a completare l'esercizio con i dati del problema

Altro problema, che ti invito a svolgere, magari in un altro post (non sono sicuro se io riuscirei a risolverlo): trovare accelerazione angolare del disco e tensione del filo all'istante generico $t$. con lunghezza verticale iniziale del filo uguale a $L_0$. Fermarsi alle equazioni differenziali se sono troppo difficili da risolvere.