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Salve!

Considerando un campo scalare o vettoriale, so che questi sono detti “uniformi” quando, in generale, la grandezza descritta dal campo non varia spostandoci da punto a punto del campo stesso.

Nel caso del campo scalare, ad esempio penso a un campo di pressione o temperatura, ciò significa quindi che ovunque ho lo stesso valore di pressione o temperatura.
Matematicamente questo si traduce con le 3 derivate parziali nulle (considerando un campo tridimensionale).

Ho più problemi, invece, a capire ciò che accade matematicamente a un campo vettoriale uniforme.
Ad esempio se considero un campo di velocità, in generale esso sarà uniforme se in ogni punto di esso la velocità non varia (in modulo, direzione, verso). Ma matematicamente cosa implica questo?

Provando a ragionare ho pensato che anzitutto posso scomporre il campo vettoriale in 3 campi scalari. A questo punto il campo vettoriale è uniforme se lo sono i 3 campi scalari.
Ciò significa che, ad esempio nel caso delle velocità e considerando la componente x, saranno nulle le derivate (parziali perché in generale la componente è funzione delle 3 variabili spaziali) di tale componente rispetto a x, y, z. E così per le altre due componenti. Se TUTTE queste sono nulle allora il campo vettoriale è uniforme.

Vi pare corretto? Grazie mille!

Provando a ragionare ho pensato che anzitutto posso scomporre il campo vettoriale in 3 campi scalari. A questo punto il campo vettoriale è uniforme se lo sono i 3 campi scalari.
Ciò significa che, ad esempio nel caso delle velocità e considerando la componente x, saranno nulle le derivate (parziali perché ..........
Vi pare corretto? Grazie mille!

Si .

Grazie per la conferma!

Dunque, se non ho capito male, se ad esempio ho un campo vettoriale bidimensionale ( V(x,y) ) allora devono essere nulle solo le derivate parziali rispetto a x e y (e non z) delle componenti del vettore? E poi, anche se il campo di velocità è Bidimensionale, il vettore velocità può avere comunque 3 componenti vero?

Che poi, ragionando più attentamente, un campo ad esempio tridimensionale uniforme equivale a un campo zero dimensionale, no? Cioè ogni punto xyz ha lo stesso valore di un qualsiasi altro punto

Un campo vettoriale bidimensionale vuol dire che i vettori sono tutti paralleli a un piano, quindi hanno componenti nulle rispetto all’asse normale al piano.
“Tridimensionale uniforme” vuol dire monodimensionale , non zero-dimensionale.

Ah, d’accordo. Allora avevo capito male,
Perché ad esempio in fluidodinamica mi è stato definito come flusso mono bi tri dimensionale come un flusso il cui campo di velocità è completamente specificato indicano 1, 2 o 3 punti dello spazio.
Quindi, ad esempio, è bidimensionale se io ho una situazione come V(x,y); ma in generale non pensavo che avesse conseguenze anche sulle componenti del vettore velocità, come invece mi pare di capire che ci siano. Oppure sto confondendo discorsi separati?

Non è che stai confondendo discorsi separati ( in verità non ho neanche capito molto che cosa vuol dire) , è che vuoi crearti per forza degli schemi teorici , che in realtà servono a ben poco. Anche un semplice moto di un liquido in un tubo in pressione, che potresti pensare come flusso monodimensionale, è in realtà sede di fenomeni turbolenti, che dissipano energia, per cui le velocità vanno in tante direzioni; solo in media puoi dire che quel flusso è in una sola dimensione. Quindi non arzigogolare troppo.

D’accordo... in effetti hai ragione. Cerco di farmi schemi ovunque anche dove non ce ne sono

Una cosa però credo che possa essere chiarita (se avrai voglia e tempo, ovviamente) e provo a spiegarmi meglio.

Un campo di velocità ad esempio monodimensionale è tale per cui il vettore velocità in ogni suo punto ha solo la componente lungo tale dimensione oppure tale vettore velocità può avere anche tutte e tre le componenti non nulle e la monodimensionalità sta nel fatto che variano solamente con una delle tre coordinate che individuano un punto nello spazio?

Ti rispondo con un esempio semplice. Prendi un lungo tubo rettilineo, immagina che dentro scorra acqua, lascia perdere ogni turbolenza , cioè supponi che le $vecv$ siano rigorosamente parallele all’asse del tubo. Questo è un flusso monodimensionale, ok? E rimane tale, anche se riferisci l’asse a un sistema di tre assi cartesiani, con coseni direttori tutti diversi da zero.
Prima la fisica, poi la matematica!

Vero! Grazie infinite. Davvero!